Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 36

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Zeige, dass die Elementarmatrizen invertierbar sind. Wie sehen die inversen Matrizen zu den Elementarmatrizen aus?

Übungsaufgaben

Aufgabe

Beschreibe die Umkehrabbildungen zu den elementargeometrischen Abbildungen Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Drehung, Streckung, Verschiebung.

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix von

$\left(\begin{array}{ccccc}\frac{7}{2}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& -1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & -\frac{5}{3}& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 17& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 10^{-4}\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix von

$\left(\begin{array}{ccccc}0& 0& \cdots & 0& 1\\ 0& 0& \cdots & 1& 0\\ ⋮& ⋮& 1& ⋮& ⋮\\ 0& 1& \cdots & 0& 0\\ 1& 0& \cdots & 0& 0\end{array}\right).$

Aufgabe

Zeige, dass eine invertierbare Matrix $M$ weder eine Nullzeile noch eine Nullspalte besitzt.

Aufgabe

Es sei $M$ eine invertierbare obere Dreiecksmatrix. Zeige, dass die Diagonalelemente von $M$ von $0$ verschieden sind.

Aufgabe *

Es sei $M$ eine $n\times n$-Matrix derart, dass es $n\times n$-Matrizen $A,B$ mit  $M\circ A=E_n$  und mit  $B\circ M=E_n$  gibt. Zeige  $A=B$  und dass $M$ invertierbar ist.

Aufgabe

Es seien $M$ und $N$ invertierbare $n\times n$-Matrizen. Zeige, dass auch $M\circ N$ invertierbar ist, und dass

$(M\circ N{)}^{-1}=N^{-1}\circ M^{-1}$

gilt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Zeige, dass die Menge ${\mathrm{GL}}_n\left(K\right)$ der invertierbaren Matrizen eine Gruppe ist. Zeige ferner, dass diese Gruppe bei  $n\ge 2$  nicht kommutativ ist.

Aufgabe *

Es seien  $M=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$  und  $A=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)$  Matrizen über einem Körper $K$ mit

$A\circ M=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$

Zeige, dass dann auch

$M\circ A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

gilt.

Aufgabe

Es sei $M$ eine $m\times n$-Matrix und $\phi :K^n\to K^m$ die zugehörige lineare Abbildung. Zeige, dass $\phi$ genau dann surjektiv ist, wenn es eine $n\times m$-Matrix $A$ mit  $M\circ A=E_m$  gibt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und $M$ eine $m\times n$-Matrix mit Einträgen in $K$. Zeige, dass die Multiplikation mit $m\times m$-Elementarmatrizen von links mit $M$ folgende Wirkung haben.

1. $V_{ij}\circ M=$ Vertauschen der $i$-ten und der $j$-ten Zeile von $M$.
2. $(S_k(s))\circ M=$ Multiplikation der $k$-ten Zeile von $M$ mit $s$.
3. $(A_{ij}(a))\circ M=$ Addition des $a$-fachen der $j$-ten Zeile von $M$ zur $i$-ten Zeile ($i\ne j$).

Aufgabe

Beschreibe die Wirkungsweise, wenn man eine Matrix mit einer Elementarmatrix von rechts multipliziert.

Aufgabe

Zeige, dass man eine Scherungsmatrix

$A_{ij}(a)=E_n+a{B}_{ij}$

als Matrizenprodukt $M\circ N\circ L$ schreiben kann, wobei $M$ und $L$ Diagonalmatrizen sind und $N$ eine Scherungsmatrix der Form $A_{ij}(1)$ ist.

Aufgabe

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& -3\end{array}\right).$

Finde Elementarmatrizen $E_1,\dots ,E_k$ derart, dass $E_k\circ \cdots \circ E_1\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe

Es sei

$M=\left(\begin{array}{ccc}8& 5& -1\\ 0& 4& 1\\ 2& 7& -6\end{array}\right).$

Finde Elementarmatrizen $E_1,\dots ,E_k$ derart, dass $E_k\circ \cdots \circ E_1\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

$M=\left(\begin{array}{cc}2& 7\\ -4& 9\end{array}\right).$

Aufgabe *

Bestimme die inverse Matrix zu

$\left(\begin{array}{ccc}2& 4& 0\\ -1& 0& 3\\ 0& 1& 1\end{array}\right).$

Aufgabe

Führe für die Matrix

$\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 5\\ 1& 7& -4\\ 9& 17& -2\end{array}\right)$

das Invertierungsverfahren durch bis sich herausstellt, dass die Matrix nicht invertierbar ist.

Aufgabe *

1. Überführe die Matrixgleichung

   $\left(\begin{array}{cc}3& 7\\ -4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

$M=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 6& -1& -2\\ 0& 3& 7\end{array}\right).$

Aufgabe

Bestimme die inverse Matrix zu

$M=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -2& 0& 0\\ 0& 0& 3& 7\\ 0& 0& -4& 2\end{array}\right).$

Aufgabe *

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}11& -20\\ 6& -11\end{array}\right).$

a) Zeige

$M^2=E_2.$

b) Bestimme die inverse Matrix zu $M$.

c) Löse die Gleichung

$M\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ -9\end{array}\right).$

Aufgabe

Löse die linearen Gleichungssysteme

$\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 9\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 5\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}7& 4\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\end{array}\right)$

simultan.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrix

$\left(\begin{array}{cccc}0& 0& k+2& k+1\\ 0& 0& k+1& k\\ -k& k+1& 0& 0\\ k+1& -(k+2)& 0& 0\end{array}\right)$

für jedes  $k\in K$  zu sich selbst invers ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

$M=\left(\begin{array}{ccc}3& 5& -1\\ 4& 7& 2\\ 2& -3& 6\end{array}\right).$

Finde Elementarmatrizen $E_1,\dots ,E_k$ derart, dass $E_k\circ \cdots \circ E_1\circ M$ die Einheitsmatrix ist.

Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

1. Überführe die Matrixgleichung

   $\left(\begin{array}{cc}-6& 5\\ 1& -8\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& w\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$

   in ein lineares Gleichungssystem.

2. Löse dieses lineare Gleichungssystem.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

$M=\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 2\\ 5& 0& 4\\ 1& -2& 3\end{array}\right).$

Aufgabe (4 Punkte)

Löse die linearen Gleichungssysteme

$\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_3\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ 11\end{array}\right),$

$\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_4\\ y_4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_5\\ y_5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}-5\\ -13\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}3& -7\\ -4& 5\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_6\\ y_6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}7\\ -1\end{array}\right)$

simultan durch Invertieren der Matrix.

Aufgabe (3 Punkte)

Führe das Verfahren 36.13 für die Matrix

$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$

unter der Voraussetzung $ad-bc\ne 0$ durch.