Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Arbeitsblatt 41

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ sei ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi (e_{G})=e_{H}$ und ${}(\varphi (g))^{-1}=\varphi (g^{-1})$ für jedes ${}g\in G$ ist.

Übungsaufgaben

Aufgabe

Sei ${}a\in \mathbb {Z}$. Zeige, dass

$\mathbb {Z} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,x\longmapsto ax,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und ${}b\in K_{+}$ ein positives Element. Zeige, dass die ganzzahlige Exponentialfunktion

$\mathbb {Z} \longrightarrow (K\setminus \{0\},\cdot ,1),\,n\longmapsto b^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Bestimme, ob die durch die Gaußklammer gegebene Abbildung

$\mathbb {Q} \longrightarrow \mathbb {Z} ,\,q\longmapsto \lfloor q\rfloor ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist oder nicht.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}M={\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mid a,b,c,d\in K,\,ad-bc\neq 0\right\}}\,$

die Menge aller invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen.

a) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass ${}M$ mit der Matrizenmultiplikation eine Gruppe bildet.

b) Zeige (ohne Bezug zur Determinante), dass die Abbildung

$M\longrightarrow K^{\times },\,{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\longmapsto ad-bc,$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}G$ eine (multiplikativ geschriebene) kommutative Gruppe und sei ${}n\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Potenzieren

$G\longrightarrow G,\,x\longmapsto x^{n},$

ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine Gruppe. Zeige, dass sich Gruppenelemente ${}g\in G$ und Gruppenhomomorphismen ${}\varphi$ von ${}\mathbb {Z}$ nach ${}G$ über die Korrespondenz

$g\longmapsto (n\mapsto g^{n}){\text{ und }}\varphi \longmapsto \varphi (1)$

entsprechen.

Aufgabe

Bestimme die Gruppenhomomorphismen von ${}(\mathbb {Q} ,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass es außer der trivialen Abbildung keinen weiteren Gruppenhomomorphismus von ${}(K,+,0)$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ gibt.

Aufgabe

Es bezeichne ${}\mathbb {Q} ^{\times }=\mathbb {Q} \setminus \{0\}$ die (multiplikative) Einheitengruppe von ${}\mathbb {Q}$. Man gebe einen nichttrivialen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Q} ^{\times }$ nach ${}(\mathbb {Z} ,+,0)$ an.

Aufgabe

Es sei ${}d\in \mathbb {N} _{\geq 2}$. Wir betrachten die Restklassengruppe

${}\mathbb {Z} /(d)=\{0,1,\ldots ,d-1\}\,.$

Zeige, dass die Abbildung

$\psi \colon \mathbb {Z} /(d)\longrightarrow \mathbb {Z} ,\,r\longmapsto r,$

kein Gruppenhomomorphismus ist.

Wie in der Vorlesung erwähnt, sind lineare Abbildungen insbesondere Gruppenhomomorphismen. Den Kern kann man wie folgt auch für einen Gruppenhomomorphismus definieren.

Es seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von ${}\varphi$, geschrieben

${}\operatorname {kern} \varphi =\varphi ^{-1}(e_{H})={\left\{g\in G\mid \varphi (g)=e_{H}\right\}}\,.$

Es gilt auch wieder das Kernkriterium, also die Aussage, dass ein Gruppenhomomorphismus genau dann injektiv ist, wenn der Kern trivial ist, d.h. nur aus ${}0$ besteht.

Aufgabe *

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus

$\varphi \colon G\longrightarrow H.$

Aufgabe

Seien ${}G$ und ${}H$ Gruppen und sei ${}\varphi \colon G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass das Bild von ${}\varphi$ eine Untergruppe von ${}H$ ist.

Aufgabe

Stelle in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} {\text{ mod }}\mathbb {Z}$ die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen ${}0$ und ${}1$ dar.

1. ${}{\frac {3}{8}}+{\frac {5}{7}}$,
2. ${}-{\frac {6}{5}}$,
3. ${}{\frac {6}{7}}\cdot {\frac {3}{2}}$.

Aufgabe

Bestimme für die folgenden Hintereinanderausführungen von Teildrehungen (in der Ebene um den Nullpunkt), um welche Gesamtdrehung es sich handelt. Die Gesamtdrehung soll dabei durch eine Drehung um höchstens ${}180$ Grad (höchstens eine Halbdrehung) mit oder gegen den Uhrzeigersinn beschrieben werden.

1. Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung im Uhrzeigersinn.
2. Eine Halbdrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Vierteldrehung gegen den Uhrzeigersinn.
3. Eine Volldrehung im Uhrzeigersinn.
4. Eine Drei-Viertel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn gefolgt von einer Zwei-Drittel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.
5. Eine Fünfteldrehung im Uhrzeigersinn gefolgt von einer Fünf-Achtel-Drehung gegen den Uhrzeigersinn.

Aufgabe

Begründe, dass die Menge der zu einer Geraden ${}U\subset \mathbb {Q} ^{2}$ parallelen Geraden eine kommutative Gruppe bilden. Addiere zwei solche Geraden miteinander. Illustriere die Wohldefiniertheit an diesem Beispiel.

Aufgabe *

Es sei ${}G$ eine kommutative Gruppe und

$\varphi \colon G\longrightarrow H$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}H$ ebenfalls kommutativ ist.

Aufgabe

Es sei ${}d$ ein Teiler von ${}n$. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

$\psi \colon \mathbb {Z} /(n)\longrightarrow \mathbb {Z} /(d)$

derart gibt, dass das Diagramm

${\begin{matrix}\mathbb {Z} &{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\mathbb {Z} /(n)&\\&\searrow &\downarrow &\\&&\mathbb {Z} /(d)&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutiert. Warum lassen sich die Reste modulo ${}2$ und modulo ${}5$ besonders einfach berechnen?

Aufgabe

Es seien ${}G$ und ${}F$ kommutative Gruppen und sei ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe mit der zugehörigen Äquivalenzrelation ${}\sim$ auf ${}G$. Es sei ${}\varphi \colon G\rightarrow F$ ein Gruppenhomomorphismus mit ${}H\subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Zeige, dass es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}\colon G/\sim \rightarrow F$ mit ${}{\tilde {\varphi }}\circ p=\varphi$ gibt.

Aufgabe

Zeige direkt und unter Verwendung von Satz 20.4, dass jede Untergruppe von ${}\mathbb {Z}$ ein Ideal ist.

Aufgabe

Zeige, dass ${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q}$ eine Untergruppe, aber kein Ideal ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}R$ ein Ring mit ${}0\neq 1$ und

$\varphi \colon K\longrightarrow R$

ein Ringhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist.

Aufgabe *

Zeige, dass ein kommutativer Ring genau dann ein Körper ist, wenn er genau zwei Ideale enthält.

Aufgabe *

Zeige, dass der Kern eines Ringhomomorphismus

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

ein Ideal in ${}R$ ist.

Aufgabe

Erstelle für ${}n=2,3,\ldots ,10$ Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für die Restklassenringe ${}\mathbb {Z} /(n)$. Was haben diese Tabellen mit dem Rechnen im ${}n$-System zu tun?

Aufgabe *

1. Gibt es eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?
2. Gibt es mehr als eine Primzahl ${}x$ derart, dass auch ${}x+10$ und ${}x+20$ Primzahlen sind?

Aufgabe

Bestimme den Rest von ${}36!$ modulo ${}31$.

Aufgabe

Bestimme den Rest von ${}12!$ modulo ${}143$.

Aufgabe

Es sei ${}p$ eine Primzahl. Beweise durch Induktion den kleinen Fermat, also die Aussage, dass ${}a^{p}-a$ ein Vielfaches von ${}p$ für jede ganze Zahl ${}a$ ist.

Aufgabe *

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {44}}$ in ${}\mathbb {Z} /(97)$.

Aufgabe

Bestimme das inverse Element zu ${}{\overline {57}}$ in ${}\mathbb {Z} /(139)$.

Aufgabe *

Es sei ${}n\in \mathbb {N}$ und ${}\mathbb {Z} /(n)$ der zugehörige Restklassenring. Zeige, dass ${}a\in \mathbb {Z}$ eine Einheit modulo ${}n$ genau dann ist, wenn ${}a$ und ${}n$ teilerfremd sind.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Abbildung

$K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{n}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0&\ldots &0&0\\0&a&0&\ldots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\ldots &0&a&0\\0&0&\ldots &0&a\end{pmatrix}},$

ein injektiver Ringhomomorphismus ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon K\longrightarrow \operatorname {Mat} _{2}(K),\,a\longmapsto {\begin{pmatrix}a&0\\0&0\end{pmatrix}}.$

Welche Eigenschaften eines Ringhomomorphismus erfüllt die Abbildung ${}\varphi$, welche nicht?

Aufgabe

Löse die lineare Gleichung

${}3x=5\,$

für die folgenden Körper ${}K$:

a) ${}K=\mathbb {Q}$,

b) ${}K=\mathbb {R}$,

c) ${}K=\{0,1\}$, der Körper mit zwei Elementen aus Beispiel 11.4,

d) ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$, der Körper mit sieben Elementen aus Beispiel 41.11.

Aufgabe

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ aus Beispiel 41.11.

${}5x=4\,.$

Aufgabe

Löse das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}3&4\\2&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\1\end{pmatrix}}\,$

über dem Körper ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ aus Beispiel *****.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zeige, dass der Betrag

$K^{\times }\longrightarrow (K_{+},\cdot ,1),\,x\longmapsto \vert {x}\vert ,$

ein Gruppenhomomorphismus ist. Was ist der Kern?

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Matrix

${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Q} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Q} ^{2}$ und ebenso von ${}\mathbb {Z} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Z} ^{2}$ definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe (2 Punkte)

Stelle in der Restklassengruppe ${}\mathbb {Q} {\text{ mod }}\mathbb {Z}$ die folgenden Terme durch einen Bruch zwischen ${}0$ und ${}1$ dar.

1. ${}{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}$,
2. ${}-{\frac {3}{4}}$,
3. ${}11$,
4. ${}{\frac {4}{7}}+{\frac {5}{6}}$.

Aufgabe (3 Punkte)

Erstelle Operationstafeln für die Addition und die Multiplikation für den Restklassenring ${}\mathbb {Z} /(13)$.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne über ${}\mathbb {Z} /(5)$ das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}3&0&1&2&3\\4&3&3&0&2\\3&2&1&2&3\\4&2&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&4\\1&3&3\\0&0&1\\4&2&0\\2&3&2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse das folgende lineare Gleichungssystem über dem Körper ${}K=\{0,1,2,3,4,5,6\}$ aus Beispiel 41.11.

${}{\begin{pmatrix}5&1\\2&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}\,.$