Kurs:Körper- und Galoistheorie/1/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Punkte 4 4 3 4 3 3 4 3 6 7 8 5 4 5 63



Aufgabe * (4 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine endliche Körpererweiterung .
  2. Der Grad einer endlichen Körpererweiterung .
  3. Eine Einheit in einem kommutativen Ring .
  4. Eine -te Einheitswurzel in einem Körper ().
  5. Die Charakteristik eines Körpers .
  6. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe .
  7. Eine algebraische Zahl .
  8. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung .


Aufgabe * (4 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen und .
  2. Die trigonometrische Darstellung der -ten komplexen Einheitswurzeln ().
  3. Der Satz von Lagrange über die Ordnung eines Gruppenelementes in einer endlichen Gruppe .
  4. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer -Algebra und einem Element .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

in liegen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

in eine äquivalente Gleichung der Form

mit um.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl über .


Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte den Körper . Führe im Polynomring die Polynomdivision

aus, wobei die Restklasse von in bezeichnet.


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde im Polynomring ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne in

das Produkt

( bezeichne die Restklasse von ).


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen .


Aufgabe * (7 Punkte)

Es seien und ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. teilt .
  2. Es ist .
  3. Es gibt einen Ringhomomorphismus
  4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus


Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei und es sei die Menge der -ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei ein Polynom. Zeige, dass (d.h., dass als Polynom in geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes die Gleichheit

gilt.


Aufgabe * (5 Punkte)

Sei ein Körper und der Polynomring über . Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass ein Hauptidealbereich ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Galoisgruppe (einschließlich der Gruppenstruktur) der Körpererweiterung .


Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien und kommutative Gruppen und seien und die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper .

  1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

    durch die Zuordnung ein Gruppenhomomorphismus

    definiert wird.

  2. Es sei eine weitere kommutative Gruppe und sei

    ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit