Kurs:Körper- und Galoistheorie/T1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	$\sum$
Punkte	3	3	3	4	3	3	4	3	6	7	8	5	4	5	61

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine endliche Körpererweiterung $K\subseteq L$.
2. Eine Einheit $u$ in einem kommutativen Ring $R$.
3. Eine $n$-te Einheitswurzel $z$ in einem Körper $K$ ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$).
4. Ein innerer Automorphismus einer Gruppe $G$.
5. Eine algebraische Zahl  $z\in ℂ$. 
6. Die Galoisgruppe einer Körpererweiterung $K\subseteq L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Gradformel für endliche Körpererweiterungen $K\subseteq L$ und $L\subseteq M$.
2. Die trigonometrische Darstellung der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln ($n\in {\mathbb{N}}_{+}$).
3. Der Satz über den Einsetzungshomomorphismus zu einer $R$-Algebra $A$ und einem Element $f\in A$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme eine ganze Zahl $n$ derart, dass die Lösungen der quadratischen Gleichung

$x^2+3x+\frac{7}{3}=0$

in $\mathbb{Q}[\sqrt{n}]$ liegen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Forme die Gleichung

$x^5+10x^4+x-5=0$

in eine äquivalente Gleichung der Form

$y^5+b_3{y}^3+b_2{y}^2+b_{1}y+b_0=0$

mit  $b_i\in \mathbb{Q}$  um.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Minimalpolynom der komplexen Zahl $2+5\mathrm{i}$ über $\mathbb{Q}$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Betrachte den Körper

$K={𝔽}_4=\mathbb{Z}/(2)[U]/(U^2+U+1).$

Führe im Polynomring $K[X]$ die Polynomdivision

$X^4+u{X}^3+(u+1)X+1\text{ durch }u{X}^2+X+u+1$

aus, wobei $u$ die Restklasse von $U$ in $K$ bezeichnet.

Aufgabe * (4 Punkte)

Finde im Polynomring $\mathbb{Z}/(2)[X]$ ein irreduzibles Polynom vom Grad vier.

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne in

$\mathbb{Z}/(7)[X]/(X^3+4X^2+X+5)$

das Produkt

$(2x^2+5x+3)\cdot (3x^2+x+6)$

($x$ bezeichne die Restklasse von $X$).

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die „Gradformel“ für eine Kette von endlichen Körpererweiterungen $K\subseteq L\subseteq M$.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es seien $k$ und $n$ ganze Zahlen. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. $k$ teilt $n$.
2. Es ist  $\mathbb{Z}n\subseteq \mathbb{Z}k$. 
3. Es gibt einen Ringhomomorphismus

   $\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k).$

4. Es gibt einen surjektiven Gruppenhomomorphismus

   $\mathbb{Z}/(n)⟶\mathbb{Z}/(k).$

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  und es sei  ${\mu }_n\subseteq ℂ$  die Menge der $n$-ten komplexen Einheitswurzeln. Es sei  $F\in ℂ[X]$  ein Polynom. Zeige, dass  $F\in ℂ[X^n]$  (d.h., dass $F$ als Polynom in $X^n$ geschrieben werden kann) genau dann gilt, wenn für jedes  $z\in {\mu }_n$  die Gleichheit

$F(zX)=F(X)$

gilt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige unter Verwendung der Division mit Rest, dass $K[X]$ ein Hauptidealbereich ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Galoisgruppe (einschließlich der Gruppenstruktur) der Körpererweiterung $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\mathrm{i}]$.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es seien $D_1$ und $D_2$ kommutative Gruppen und seien $D_1^{\vee }$ und $D_2^{\vee }$ die zugehörigen Charaktergruppen zu einem Körper $K$.

1. Zeige, dass zu einem Gruppenhomomorphismus

   $\phi :D_1⟶D_2$

   durch die Zuordnung $\chi \mapsto \chi \circ \phi$ ein Gruppenhomomorphismus

   ${\phi }^{\vee }:D_2^{\vee }⟶D_1^{\vee }$

   definiert wird.

2. Es sei $D_3$ eine weitere kommutative Gruppe und sei

   $\psi :D_2⟶D_3$

   ein Gruppenhomomorphismus. Zeige die Gleichheit

   $(\psi \circ \phi {)}^{\vee }={\phi }^{\vee }\circ {\psi }^{\vee }.$