Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Diagonalisierbare Abbildungen/Ergänzungen/Textabschnitt

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Satz

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist diagonalisierbar.
  2. Das charakteristische Polynom zerfällt in Linearfaktoren und für jede Nullstelle stimmt die algebraische Vielfachheit mit der geometrischen Vielfachheit überein.
  3. Das Minimalpolynom zu zerfällt in Linearfaktoren, die alle einfach sind.

Definition  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum. Man sagt, dass die linearen Abbildungen

simultan diagonalisierbar sind, wenn es eine

Basis , , von gibt, so dass jedes für jedes ein Eigenvektor ist.



Korollar  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung mit für ein . Es sei vorausgesetzt, dass eine -te primitive Einheitswurzel enthält.

Dann ist diagonalisierbar.

Beweis  

Nach der Voraussetzung an ist das Minimalpolynom von ein Teiler von . Nach der Voraussetzung an den Körper besitzt dieses Polynom verschiedene Nullstellen. Daher zerfällt das Minimalpolynom in einfache Linearfaktoren. Nach Satz Anhang 7.1 ist somit diagonalisierbar.



Satz

Es sei ein Körper und ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es seien

lineare Abbildungen, die alle diagonalisierbar seien.

Dann sind diese linearen Abbildungen genau dann simultan diagonaliserbar, wenn sie paarweise vertauschbar sind.

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