Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Vorlesung 14/latex

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\setcounter{section}{14}






\zwischenueberschrift{Normale Körpererweiterungen}




\inputdefinition
{}
{

Eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {normal}{,} wenn es zu jedem
\mathl{x \in L}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mathbed {F \in K[X]} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, das über $L$ \definitionsverweis {zerfällt}{}{.}

}

Eine normale Körpererweiterung ist insbesondere algebraisch. Wir werden gleich noch dazu äquivalente Eigenschaften kennenlernen. Einfache Eigenschaften von normalen Erweiterungen werden im folgenden Lemma zusammengefasst.




\inputfaktbeweis
{Normale Körpererweiterung/Elementare Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Identität ist eine \definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{.} }{Jede quadratische Körpererweiterung ist normal. }{Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine normale Körpererweiterung ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{M }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Zwischenkörper, so ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} normal. }{Eine Erweiterung von endlichen Körpern ist normal. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{(1) ist trivial.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2). Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit dem Minimalpolynom $F$, das den Grad \mathkor {} {1} {oder} {2} {} besitzt. In
\mathl{L[X]}{} besitzt $F$ einen Linearfaktor, der andere Faktor ist wegen der Gradbedingung konstant oder auch ein Linearfaktor.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3). Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ L }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} gibt es ein Polynom
\mathbed {F \in K[X]} {}
{F \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} das über
\mathl{L[X]}{} zerfällt. Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[X] }
{ \subseteq }{M[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt diese Eigenschaft auch für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(4). Nach (3) können wir sofort eine Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Z/(p) }
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ q } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer Primzahl $p$ und einer Primzahlpotenz
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ = }{ p^e }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} betrachten. Jedes Element
\mathl{x \in {\mathbb F}_{ q }}{} ist nach dem Satz von Lagrange eine Nullstelle des Polynoms
\mathl{X^q-X}{,} so dass dieses Polynom über ${\mathbb F}_{ q }$ zerfällt.}
{}

}





\inputfaktbeweis
{Normale Körpererweiterung/Charakterisierung mit Nullstellen/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Körpererweiterung ist \definitionsverweis {normal}{}{.} }{Wenn ein \definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} eine Nullstelle in $L$ besitzt, so \definitionsverweis {zerfällt}{}{} es in
\mathl{L[X]}{.} }{Es gibt ein $K$-\definitionsverweis {Algebraerzeugendensystem}{}{}
\mathbed {x_i \in L} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} von $L$ und über $L$ \definitionsverweis {zerfallende}{}{} Polynome
\mathbed {F_i \in K[X]} {}
{F_i \neq 0} {,}
{i \in I} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_i(x_i) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für jede Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und jeden $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomor\-phismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(L) }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

$(1) \Rightarrow (2)$. Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} irreduzibel und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(x) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dann ist $P$ nach Lemma 7.12 das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{} zu $x$. Nach (1) gibt es ein über $L$ zerfallendes Polynom $F$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Da $F$ ein Vielfaches von $P$ ist, muss auch $P$ über $L$ zerfallen.
$(2) \Rightarrow (1)$. Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ L }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} gehört das Minimalpolynom $P$, das nach Lemma 7.12 \definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist und nach Voraussetzung (2) über $L$ in Linearfaktoren zerfällt.
$(2) \Rightarrow (3)$. Die Familie aller Elemente mit ihren Minimalpolynomen besitzt diese Eigenschaft.
$(3) \Rightarrow (4)$. Seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabb {\varphi} {L} {M } {} gegeben. Es sei
\mathl{x_i \in L}{} ein Element aus der erzeugenden Familie und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_i }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} das zugehörige zerfallende Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F_i(x) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} das wir als irreduzibel annehmen dürfen. Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F_i (\varphi(x_i)) }
{ =} { \varphi(F_i(x_i)) }
{ =} { \varphi(0) }
{ =} { 0 }
{ } { }
} {}{}{,} daher ist
\mathl{\varphi(x_i) \in M}{} eine Nullstelle des über $L$ zerfallenden Polynoms $F_i$. Das heißt aber, dass
\mathl{\varphi(x_i) \in L}{} ist. Diese Zugehörigkeit gilt dann für alle
\mathl{x \in L}{,} da sie für ein Algebraerzeugendensystem gilt.
$(4) \Rightarrow (2)$. Es sei
\mathl{P \in K[X]}{} irreduzibel und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ L }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(x) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Wir können nach Lemma 7.12 annehmen, dass $P$ das Minimalpolynom von $x$ ist. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_1 }
{ = }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und ergänzen dies zu einem endlichen $K$-\definitionsverweis {Algebraerzeugendensystem}{}{} von $L$, sagen wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L }
{ =} {K[x_1 , \ldots , x_n] }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Es seien
\mathl{P_1=P,P_2 , \ldots , P_n}{} die Minimalpolynome von $x_i$ über $K$. Wir betrachten das Produkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{P_1 \cdots P_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und den Zerfällungskörper $M$ von $F$ über $L$, der zugleich der Zerfällungskörper über $K$ ist. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{ M }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} eine Nullstelle von $P$. Wir müssen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ \in }{ L }
{ }{}
{ }{}
{ }{}
} {}{}{} zeigen. Es gibt einen $K$-\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {K[x] \cong K[X]/(P)} {K[y] } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(x) }
{ = }{ y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Der Körper $M$ ist der Zerfällungskörper von $F$ über
\mathl{K[x]}{} als auch über
\mathl{K[y]}{.} Daher gibt es nach Satz 11.5 ein kommutatives Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix} K[x] & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & K[y] & \\ \downarrow & & \downarrow & \\ M & \stackrel{ \tilde{\varphi} }{\longrightarrow} & M & \!\!\!\!\! \\ \end{matrix}} { }
mit einem $K$-Isomorphismus $\tilde{\varphi}$. Nach Voraussetzung ist dabei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \tilde{\varphi}(L) }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} also ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y }
{ = }{\varphi(x) }
{ \in }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}







\inputbemerkung
{}
{

Insbesondere die zweite Eigenschaft von Satz 14.3 zeigt, dass es sich hierbei um eine recht starke Eigenschaft handelt. Wenn man mit einem Primpolynom
\mathl{P \in K[X]}{} startet und sich den \definitionsverweis {Restklassenkörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{K[X]/(P) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} anschaut, so besitzt $P$ in $L$ eine Nullstelle, nämlich die Restklasse $x$ von $X$. Daher gilt in
\mathl{L[X]}{} die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ = }{(X-x) Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einem Polynom
\mathl{Q \in L[X]}{.} Es gibt aber keinen allgemeinen Grund, warum $Q$ über $L$ in Linearfaktoren zerfallen sollte.

}

Wir setzen weiterhin voraus, dass eine endliche Körpererweiterung vorliegt. Dann sind die normalen Körpererweiterungen genau die Zerfällungskörper von Polynomen.




\inputfaktbeweis
{Endliche Körpererweiterung/Normal und Zerfällungskörper/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann eine \definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{,} wenn $L$ \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ \in }{K[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \definitionsverweis {normal}{}{.} Wegen der vorausgesetzten \definitionsverweis {Endlichkeit}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{K[x_1 , \ldots , x_n] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zu $x_i$ sei
\mathl{F_i \in K[X]}{} das \definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{.} Wegen der Normalität zerfällt jedes $F_i$ in
\mathl{L[X]}{} in Linearfaktoren. Daher ist $L$ der Zerfällungs\-körper des Produktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{F_1 \cdots F_n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ = }{Z(F) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Zerfällungskörper, und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F }
{ = }{(X- \alpha_1) \cdots (X- \alpha_n) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Faktorzerlegung zu den Nullstellen
\mathl{\alpha_i \in L}{,} die den Körper $L$ erzeugen. Wir werden das Kriterium Satz 14.3  (4) anwenden. Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine Körpererweiterung und sei \maabbdisp {\varphi} {L} {M } {} ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{.} Es ist dann
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F( \varphi(\alpha_i) ) }
{ =} { \varphi (F (\alpha_i) ) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} da sich die Koeffizienten von $F$ nicht ändern \zusatzklammer {vergleiche Lemma 8.15} {} {,} und somit gehört
\mathl{\varphi(\alpha_i)}{} zur Nullstellenmenge
\mathl{\{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n \}}{} und damit insbesondere zu $L$. Daher gilt generell
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(L) }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}
{}

}





\inputfaktbeweis
{Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Fortsetzungssatz für Homomorphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{} und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,} ein Zwischenkörper. Es sei \maabb {\varphi} {M} {L } {} ein $K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt $\varphi$ eine Fortsetzung zu einem Automorphismus auf $L$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Aufgrund von Satz 14.5 wissen wir, dass $L$ der \definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} eines Polynoms
\mathl{F \in K[X]}{} ist. $L$ ist auch der Zerfällungskörper von
\mathl{F \in M[X]}{.} Es sei
\mathl{M'= \varphi(M)}{} das isomorphe Bild von $M$ in $L$ unter $\varphi$. Somit ist $L$ auch der Zerfällungskörper von
\mathl{F \in M'[X]}{.} Daher gibt es nach Satz 11.5 einen Isomorphismus \maabb {\tilde{\varphi}} {L} {L } {,} der mit den Abbildungen \maabb {} {M} {L } {} und
\mathl{M \stackrel{\varphi}{\rightarrow} M' \rightarrow L}{} verträglich ist.

}





\inputfaktbeweis
{Normale endliche Körpererweiterung/Konjugierte Elemente und Automorphismus/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{} und es seien
\mathl{\alpha, \beta \in L}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind \mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {} genau dann \definitionsverweis {konjugiert}{}{,} wenn es einen $K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{} \maabb {\varphi} {L} {L } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(\alpha) }
{ = }{ \beta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Wenn es einen $K$-Automorphismus $\varphi$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(\alpha) }
{ = }{ \beta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt, so induziert dieser einen Isomorphismus \maabb {} {K[\alpha]} { K[\beta] } {.} Da diese erzeugten Unterkörper jeweils durch die Minimalpolynome von \mathkor {} {\alpha} {bzw.} {\beta} {} festgelegt sind, müssen die Minimalpolynome übereinstimmen. Also sind \mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {} \definitionsverweis {konjugiert}{}{.}}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Wenn umgekehrt\zusatzfussnote {Die Umkehrung folgt auch aus Satz 13.2} {.} {} die beiden Elemente konjugiert sind, so gibt es einen $K$-Isomorphismus \maabb {} {K[\alpha]} {K[\beta] } {.} Mit der Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K[\beta] }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} führt dies zu einem $K$-Homomorphismus \maabbdisp {} {K[\alpha]} {L } {,} den man nach Korollar 14.6 zu einem Automorphismus auf $L$ fortsetzen kann.}
{}

}





\inputfaktbeweis
{Normale endliche Körpererweiterung/Zwischenkörper/Charakterisierung von normal über Grundkörper durch Automorphismen/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {endliche}{}{} \definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{} und sei
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,} ein \definitionsverweis {Zwischenkörper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann \definitionsverweis {normal}{}{,} wenn für jeden $K$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismus}{}{} \maabbdisp {\varphi} {L} {L } {} die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(M) }
{ \subseteq }{ M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} normal ist, so gilt die Homomorphismuseigenschaft aufgrund von Satz 14.3  (4).}
{} \teilbeweis {}{}{}
{Zur Umkehrung verwenden wir das Kriterium Satz 14.3  (2). Es sei also
\mathl{P \in K[X]}{} ein irreduzibles \zusatzklammer {normiertes} {} {} Polynom, das in $M$ eine Nullstelle, sagen wir $\alpha$, besitzt. Dieses Polynom zerfällt über $L$ in Linearfaktoren, und wir müssen zeigen, dass die zugehörigen Nullstellen zu $M$ gehören. Es sei
\mathl{\beta \in L}{} eine weitere Nullstelle von $P$. Wegen der Irreduzibilität und Lemma 7.12 ist $P$ das Minimalpolynom von $\alpha$ und auch von $\beta$, d.h. die beiden Elemente sind \definitionsverweis {konjugiert}{}{.} Nach Korollar 14.7 gibt es daher einen $K$-Automorphismus \maabb {\varphi} {L} {L } {} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(\alpha) }
{ = }{ \beta }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach Voraussetzung ist
\mathl{\beta \in M}{.}}
{}

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten die Körperkette
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq }{ M }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} wobei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{\Q(\sqrt{3}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ = }{ M(\sqrt{1+ \sqrt{3} }) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. Das sind zwei \definitionsverweis {quadratische Körpererweiterungen}{}{,} die beide nach Lemma 14.2  (2) \definitionsverweis {normal}{}{} sind. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u }
{ = }{ \sqrt{1+ \sqrt{3} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und dieses Element erzeugt $L$ über $\Q$. Wir können $L$ als einen Unterkörper von $\R$ auffassen, indem wir für $\sqrt{3}$ und dann für
\mathl{\sqrt{1+ \sqrt{3} }}{} die positiven reellen Wurzeln wählen. Wir haben
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{u^4-2u^2-2 }
{ =} {(u^2-1)^2-3 }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} d.h. das Polynom
\mathl{X^4-2X^2-2}{} wird von $u$ annulliert. Dieses Polynom besitzt über $L$ die Zerlegung
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{X^4-2X^2-2 }
{ =} { { \left( X^2-1 \right) }^2-3 }
{ =} { { \left( X^2-1- \sqrt{3} \right) } { \left( X^2-1 + \sqrt{3} \right) } }
{ =} { { \left( X^2 - u^2 \right) } { \left( X^2-1+ \sqrt{3} \right) } }
{ =} { (X-u)(X+u) { \left( X^2-1+ \sqrt{3} \right) } }
} {} {}{.} Wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sqrt{3} -1 }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist das hintere quadratische Polynom über $L$ unzerlegbar. Dieses Polynom zerfällt also über $L$ nicht in Linearfaktoren und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q }
{ \subseteq }{ L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht normal.


}



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