Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 10

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Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei der von und erzeugte Unterring von . Zeige, dass alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von im Nenner schreiben lassen.


Aufgabe

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen keine endliche Körpererweiterung von ist.


Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.


Aufgabe *

Es seien und algebraische Körpererweiterungen. Zeige, dass dann auch eine algebraische Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass es außer keine endliche -Unteralgebra gibt.


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und eine kommutative -Algebra. Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Die Identität ist ein -Algebraautomorphismus.
  2. Die Verknüpfung von zwei -Algebraautomorphismen und ist wieder ein Automorphismus.
  3. Die Umkehrabbildung zu einem -Algebraautomorphismus ist wieder ein Automorphismus.
  4. Die Menge der -Algebraautomorphismen bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung eine Gruppe.


Aufgabe

Es sei ein Körper der Charakteristik und sei eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren -Algebraautomorphismus gibt.


Aufgabe

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Zeige, dass ein Polynom genau dann irreduzibel ist, wenn das um „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in die Variable durch ersetzt) irreduzibel ist.


Aufgabe *

Sei und betrachte die Körpererweiterung

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von und das Inverse von . (Man darf dabei verwenden, dass irrationale Zahlen sind.)


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

Man gebe auch eine -Basis von an.

b) Zeige, dass in alle Elemente der Form und mit eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl besitze in eine dritte Wurzel. Zeige, dass die Form

mit besitzt.

d) Es sei nun eine weitere, von verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung


Aufgabe *

Es sei ein Körper und seien und endliche Körpererweiterungen. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung gibt, die sowohl als auch als Zwischenkörper enthält.


Aufgabe

Sei eine Körpererweiterung und es sei , , ein Körper-Erzeugendensystem (als Körper) von über . Es seien mit für alle . Zeige, dass ist.


Aufgabe *

Es sei , , eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl sowie der Real- und der Imaginärteil von algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung


Aufgabe *

Es sei die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

  1. Bestimme das Minimalpolynom von .
  2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung gleich ist.
  3. Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht in überführt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Körpererweiterung und sei ein Element. Zeige: ist genau dann algebraisch über , wenn ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Inverse von im Körper ( bezeichnet die Restklasse von ).


Aufgabe (4 Punkte)

Sei eine Körpererweiterung, wobei algebraisch abgeschlossen sei. Zeige, dass auch der algebraische Abschluss von in algebraisch abgeschlossen ist.[1]


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über in zwei Variablen. Sei ein Polynom in der einen Variablen . Zeige, dass durch die Einsetzung und ein -Algebraautomorphismus von in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein Körper und sei der rationale Funktionenkörper über . Zeige, dass es zu jedem einen Ringhomomorphismus derart gibt, dass eine endliche Körpererweiterung vom Grad ist.




Fußnoten
  1. Die Bezeichnungen wären natürlich schlecht gewählt, wenn dies nicht gelten würde.



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