Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 10

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei  $R=\mathbb{Z}[\frac{2}{3}]$  der von $\mathbb{Z}$ und $2/3$ erzeugte Unterring von $\mathbb{Q}$. Zeige, dass $R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von $3$ im Nenner schreiben lassen.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen $𝔸$ keine endliche Körpererweiterung von $\mathbb{Q}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.

Aufgabe *

Es seien  $K\subseteq L$  und  $L\subseteq M$  algebraische Körpererweiterungen. Zeige, dass dann auch  $K\subseteq M$  eine algebraische Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper. Zeige, dass es außer $K$ keine endliche $K$-Unteralgebra $A\subseteq K[X]$ gibt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein kommutativer Ring und $A$ eine kommutative $K$-Algebra. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ist ein $K$-Algebraautomorphismus.
2. Die Verknüpfung $\phi \circ \psi$ von zwei $K$-Algebraautomorphismen $\phi$ und $\psi$ ist wieder ein Automorphismus.
3. Die Umkehrabbildung ${\phi }^{-1}$ zu einem $K$-Algebraautomorphismus $\phi$ ist wieder ein Automorphismus.
4. Die Menge der $K$-Algebraautomorphismen bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung eine Gruppe.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\ne 2$ und sei  $K\subseteq L$  eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren $K$-Algebraautomorphismus $L\to L$ gibt.

Aufgabe

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X]$ der Polynomring über $K$. Zeige, dass ein Polynom  $P\in K[X]$  genau dann irreduzibel ist, wenn das um  $a\in K$  „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in $P$ die Variable $X$ durch $X-a$ ersetzt) irreduzibel ist.

Aufgabe *

Es sei  $x=\sqrt{2}+\sqrt{5}\in ℝ$  und betrachte die Körpererweiterung

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(x)=L.$

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von $x$ und das Inverse von $x$. (Man darf dabei verwenden, dass $\sqrt{2},\sqrt{5},\sqrt{10}$ irrationale Zahlen sind.)

Aufgabe *

Es sei $p$ eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt[3]{p}].$

Man gebe auch eine $\mathbb{Q}$-Basis von $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{p}]$ an.

b) Zeige, dass in $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{p}]$ alle Elemente der Form $m^{3}p$ und $n^3{p}^2$ mit  $m,n\in \mathbb{Q}$  eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl  $x\in \mathbb{Q}$  besitze in $\mathbb{Q}[\sqrt[3]{p}]$ eine dritte Wurzel. Zeige, dass $x$ die Form

$x=k^3\text{ oder }x=m^{3}p\text{ oder }x=n^3{p}^2$

mit  $k,m,n\in \mathbb{Q}$  besitzt.

d) Es sei nun $q$ eine weitere, von $p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[\sqrt[3]{p},\sqrt[3]{q}].$

Aufgabe *

Es sei $K$ ein Körper und seien  $K\subseteq L_1$  und  $K\subseteq L_2$  endliche Körpererweiterungen. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung  $K\subseteq M$  gibt, die sowohl $L_1$ als auch $L_2$ als Zwischenkörper enthält.

Aufgabe

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und es sei $x_i\in L$, $i\in I$, ein Körper-Erzeugendensystem (als Körper) von $L$ über $K$. Es seien $\phi ,\psi \in \mathrm{Gal}(L/K)$ mit $\phi (x_i)=\psi (x_i)$ für alle $i\in I$. Zeige, dass $\phi =\psi$ ist.

Aufgabe *

Es sei $z=a+b\mathrm{i}\in ℂ$, $a,b\in ℝ$, eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl  $\bar{z}=a-b\mathrm{i}$  sowie der Real- und der Imaginärteil von $z$ algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung

$𝔸\cap ℝ\subseteq 𝔸.$

Aufgabe *

Es sei  $ϵ=\frac{-1+\sqrt{3}\mathrm{i}}{2}$  die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

$\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}[ϵ\sqrt[3]{7}]=L\subseteq ℂ.$

a) Bestimme das Minimalpolynom von $ϵ\sqrt[3]{7}$.

b) Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung  $\mathbb{Q}\subseteq L$  gleich $3$ ist.

c) Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht $L$ in $L$ überführt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung und sei  $f\in L$  ein Element. Zeige: $f$ ist genau dann algebraisch über $K$, wenn  $K[f]=K(f)$  ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Inverse von $2x^2+3x-1$ im Körper $\mathbb{Q}[X]/(X^3-5)$ ($x$ bezeichnet die Restklasse von $X$).

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $K\subseteq L$  eine Körpererweiterung, wobei $L$ algebraisch abgeschlossen sei. Zeige, dass auch der algebraische Abschluss $\bar{K}$ von $K$ in $L$ algebraisch abgeschlossen ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei $K[X,Y]$ der Polynomring über $K$ in zwei Variablen. Es sei  $P\in K[X]$  ein Polynom in der einen Variablen $X$. Zeige, dass durch die Einsetzung $X\mapsto X$ und $Y\mapsto Y+P(X)$ ein $K$-Algebraautomorphismus von $K[X,Y]$ in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und sei  $L=K(X)$  der rationale Funktionenkörper über $K$. Zeige, dass es zu jedem  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  einen Ringhomomorphismus $\phi :L\to L$ derart gibt, dass  $L\cong \phi (L)\subseteq L$  eine endliche Körpererweiterung vom Grad $n$ ist.

Fußnoten