Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Arbeitsblatt 10

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\frac {2}{3}}]$ der von ${}\mathbb {Z}$ und ${}2/3$ erzeugte Unterring von ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass ${}R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von ${}3$ im Nenner schreiben lassen.

Aufgabe

Zeige, dass die Menge der algebraischen Zahlen ${}\mathbb {A}$ keine endliche Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass es nur abzählbar viele algebraische Zahlen gibt.

Aufgabe *

Es seien ${}K\subseteq L$ und ${}L\subseteq M$ algebraische Körpererweiterungen. Zeige, dass dann auch ${}K\subseteq M$ eine algebraische Körpererweiterung ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass es außer ${}K$ keine endliche ${}K$- Unteralgebra ${}A\subseteq K[X]$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein kommutativer Ring und ${}A$ eine kommutative ${}K$-Algebra. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Die Identität ist ein ${}K$- Algebraautomorphismus.
2. Die Verknüpfung ${}\varphi \circ \psi$ von zwei ${}K$-Algebraautomorphismen ${}\varphi$ und ${}\psi$ ist wieder ein Automorphismus.
3. Die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}$ zu einem ${}K$-Algebraautomorphismus ${}\varphi$ ist wieder ein Automorphismus.
4. Die Menge der ${}K$-Algebraautomorphismen bilden mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung eine Gruppe.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}\neq 2$ und sei ${}K\subseteq L$ eine quadratische Körpererweiterung. Zeige, dass es neben der Identität einen weiteren ${}K$- Algebraautomorphismus ${}L\rightarrow L$ gibt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass ein Polynom ${}P\in K[X]$ genau dann irreduzibel ist, wenn das um ${}a\in K$ „verschobene“ Polynom (das entsteht, wenn man in ${}P$ die Variable ${}X$ durch ${}X-a$ ersetzt) irreduzibel ist.

Aufgabe *

Es sei ${}x={\sqrt {2}}+{\sqrt {5}}\in \mathbb {R}$ und betrachte die Körpererweiterung

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} (x)=L.$

Zeige, dass diese Körpererweiterung algebraisch ist und bestimme den Grad der Körpererweiterung, das Minimalpolynom von ${}x$ und das Inverse von ${}x$. (Man darf dabei verwenden, dass ${}{\sqrt {2}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}}$ irrationale Zahlen sind.)

Aufgabe *

Es sei ${}p$ eine Primzahl.

a) Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]\,.$

Man gebe auch eine ${}\mathbb {Q}$- Basis von ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ an.

b) Zeige, dass in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ alle Elemente der Form ${}m^{3}p$ und ${}n^{3}p^{2}$ mit ${}m,n\in \mathbb {Q}$ eine dritte Wurzel besitzen.

c) Die rationale Zahl ${}x\in \mathbb {Q}$ besitze in ${}\mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}}]$ eine dritte Wurzel. Zeige, dass ${}x$ die Form

$x=k^{3}{\text{ oder }}x=m^{3}p{\text{ oder }}x=n^{3}p^{2}$

mit ${}k,m,n\in \mathbb {Q}$ besitzt.

d) Es sei nun ${}q$ eine weitere, von ${}p$ verschiedene Primzahl. Bestimme den Grad der Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [{\sqrt[{3}]{p}},{\sqrt[{3}]{q}}]\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}K\subseteq L_{1}$ und ${}K\subseteq L_{2}$ endliche Körpererweiterungen. Zeige, dass es eine endliche Körpererweiterung ${}K\subseteq M$ gibt, die sowohl ${}L_{1}$ als auch ${}L_{2}$ als Zwischenkörper enthält.

Aufgabe

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und es sei ${}x_{i}\in L$, ${}i\in I$, ein Körper-Erzeugendensystem (als Körper) von ${}L$ über ${}K$. Es seien ${}\varphi ,\psi \in \operatorname {Gal} \,(L{|}K)$ mit ${}\varphi (x_{i})=\psi (x_{i})$ für alle ${}i\in I$. Zeige, dass ${}\varphi =\psi$ ist.

Aufgabe *

Es sei ${}z=a+b{\mathrm {i} }\in {\mathbb {C} }$, ${}a,b\in \mathbb {R}$, eine algebraische Zahl. Zeige, dass auch die konjugiert-komplexe Zahl ${}{\overline {z}}=a-b{\mathrm {i} }$ sowie der Real- und der Imaginärteil von ${}z$ algebraisch sind. Man bestimme den Grad der Körpererweiterung

${\mathbb {A} }\cap \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {A} }.$

Aufgabe *

Es sei ${}\epsilon ={\frac {-1+{\sqrt {3}}{\mathrm {i} }}{2}}$ die dritte komplexe Einheitswurzel. Wir betrachten die Körpererweiterung

${}\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} [\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}]=L\subseteq {\mathbb {C} }\,.$

1. Bestimme das Minimalpolynom von ${}\epsilon {\sqrt[{3}]{7}}$.
2. Zeige, dass der Grad der Körpererweiterung ${}\mathbb {Q} \subseteq L$ gleich ${}3$ ist.
3. Zeige, dass die komplexe Konjugation nicht ${}L$ in ${}L$ überführt.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Zeige: ${}f$ ist genau dann algebraisch über ${}K$, wenn ${}K[f]=K(f)$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Inverse von ${}2x^{2}+3x-1$ im Körper ${}\mathbb {Q} [X]/(X^{3}-5)$ (${}x$ bezeichnet die Restklasse von ${}X$).

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung, wobei ${}L$ algebraisch abgeschlossen sei. Zeige, dass auch der algebraische Abschluss ${}{\overline {K}}$ von ${}K$ in ${}L$ algebraisch abgeschlossen ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X,Y]$ der Polynomring über ${}K$ in zwei Variablen. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom in der einen Variablen ${}X$. Zeige, dass durch die Einsetzung ${}X\mapsto X$ und ${}Y\mapsto Y+P(X)$ ein ${}K$- Algebraautomorphismus von ${}K[X,Y]$ in sich definiert wird, der im Allgemeinen nicht linear ist.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}L=K(X)$ der rationale Funktionenkörper über ${}K$. Zeige, dass es zu jedem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ einen Ringhomomorphismus ${}\varphi \colon L\rightarrow L$ derart gibt, dass ${}L\cong \varphi (L)\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung vom Grad ${}n$ ist.

Fußnoten