Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)/Vorlesung 9

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Endliche Untergruppen der Einheitengruppe eines Körpers

Zu einer Primzahl ist ein Körper mit Elementen und somit besitzt die Einheitengruppe genau Elemente. Nach dem Satz von Lagrange folgt daraus direkt für . Daraus ergibt sich der sogenannte Kleine Fermat.



Satz  

Für eine Primzahl und eine beliebige ganze Zahl gilt

Anders ausgedrückt: ist durch teilbar.

Beweis  

Ist nicht durch teilbar, so definiert ein Element in der Einheitengruppe ; diese Gruppe hat die Ordnung , und nach dem Satz von Lagrange gilt . Durch Multiplikation mit ergibt sich die Behauptung. Für Vielfache von gilt die Aussage ebenso, da dann beidseitig steht.


Wir wollen darüber hinaus zeigen, dass die Einheitengruppe von , , zyklisch ist, also von einem Element erzeugt wird. Dafür brauchen wir einige gruppentheoretische Vorbereitungen.



Lemma  

Sei eine kommutative Gruppe und Elemente der endlichen Ordnungen und , wobei und teilerfremd seien.

Dann hat die Ordnung .

Beweis  

Sei . Wir haben zu zeigen, dass ein Vielfaches von ist. Es ist

da ja die Ordnung von ist. Aus dieser Gleichung erhält man, dass ein Vielfaches der Ordnung von , also von sein muss. Da und teilerfremd sind, folgt aus Lemma 3.17, dass ein Vielfaches von ist. Ebenso ergibt sich, dass ein Vielfaches von ist, so dass , wieder aufgrund der Teilerfremdheit, ein Vielfaches von sein muss.



Definition  

Der Exponent einer endlichen Gruppe ist die kleinste positive Zahl mit der Eigenschaft, dass für alle ist.



Lemma  

Sei eine endliche kommutative Gruppe und sei , wobei den Exponenten der Gruppe bezeichnet.

Dann ist zyklisch.

Beweis  

Sei

die Primfaktorzerlegung der Gruppenordnung. Der Exponent der Gruppe ist

Sei ein Primteiler von . Wegen

gibt es ein Element , dessen Ordnung ein Vielfaches von ist. Dann gibt es auch (in der von erzeugten zyklischen Untergruppe) ein Element der Ordnung . Dann hat das Produkt nach Lemma 9.2 die Ordnung .




Satz  

Sei eine endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers .

Dann ist zyklisch.

Beweis  

Sei und der Exponent dieser Gruppe. Dies bedeutet, dass alle Elemente eine Nullstelle des Polynoms sind. Nach Korollar 19.9 (Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)) ist die Anzahl der Nullstellen aber maximal gleich dem Grad, so dass folgt. Nach Lemma 9.4 ist dann zyklisch.




Satz  

Es sei ein endlicher Körper.

Dann ist die Einheitengruppe eine zyklische Gruppe.

Beweis  

Dies folgt direkt aus Satz 9.5.



Satz  

Sei eine Primzahl.

Dann ist die Einheitengruppe zyklisch mit der Ordnung .

Es gibt also Elemente mit der Eigenschaft, dass die Potenzen , , alle Einheiten durchlaufen.

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 9.5, da ein endlicher Körper ist.


Die endlichen Untergruppen von sind lediglich und . Dies gilt für jeden angeordneten Körper, da etwa aus sofort folgt, dass die eine unendliche Familie bilden. Bei sind die endlichen Untergruppen von Untergruppen des komplexen Einheitskreises. Es handelt sich um die von einer primitiven komplexen Einheitswurzel erzeugten Gruppen.


Definition  

Eine Einheit heißt primitiv (oder eine primitive Einheit), wenn sie die Einheitengruppe erzeugt.


Beispiel  

Wir betrachten die Einheitengruppe des Restklassenkörpers . Nach Satz 9.7 ist sie zyklisch und es gibt daher Erzeuger der Einheitengruppe, also primitive Elemente. Wie kann man diese finden? Man ist hierbei prinzipiell auf Probieren angewiesen, man kann dies allerdings deutlich vereinfachen. Man weiß, dass die Einheitengruppe Elemente besitzt, als Ordnung von Elementen dieser Gruppe kommen also nur und in Frage. Es gibt genau ein Element mit der Ordnung , nämlich , und ein Element mit der Ordnung , nämlich . Alle anderen Elemente haben also die Ordnung oder , und genau die letzteren sind primitiv. Der erste Kandidat ist . Wir müssen also

ausrechnen. Es ist und daher ist

Die Ordnung ist also , und die ist nicht primitiv. Betrachten wir die . Es ist und daher ist

also wieder nicht primitiv. Der nächste Kandidat muss nicht gecheckt werden, denn wegen ist sofort (diese Beobachtung gilt für alle Quadratzahlen, und zwar auch für diejenigen Zahlen, die nur modulo ein Quadrat sind). Betrachten wir also . Es ist . Damit ist

Daher hat die Ordnung und ist ein primitives Element.

Man kann diesen Sachverhalt auch so ausdrücken, dass die Abbildung

einen Gruppenisomorphismus definiert. Dieser übersetzt die Addition in die Multiplikation, daher spricht man von einer diskreten Exponentialfunktion und nennt die Umkehrabbildung auch einen diskreten Logarithmus. Solche Abbildungen spielen eine wichtige Rolle in der Kryptologie. Wenn man wie in diesem Beispiel einen solchen Isomorphismus gefunden hat, so kann man viele Eigenschaften der Einheitengruppe in der „einfacheren“ Gruppe entscheiden. Z.B. sind in alle ungeraden Elemente außer ein Gruppenerzeuger, daher sind in der Einheitengruppe alle Elemente der Form

primitiv.




Primitive Einheitswurzeln

Die Menge der -ten Einheitswurzeln in einem Körper bilden eine endliche Untergruppe von , die wegen Satz 9.5 zyklisch ist.


Definition  

Eine -te Einheitswurzel heißt primitiv, wenn sie die Ordnung besitzt.

Man beachte, dass ein Erzeuger der Gruppe der Einheitswurzeln nur dann primitiv heißt, wenn es verschiedene Einheitswurzeln gibt. Wenn eine primitive -te Einheitswurzel ist, so sind genau die  mit und teilerfremd zu die primitiven Einheitswurzeln.[1]



Endliche Körper

Definition  

Ein Körper heißt endlich, wenn er nur endlich viele Elemente besitzt.

Über die Anzahl der Elemente in einem endlichen Körper gilt folgende wichtige Bedingung.



Lemma  

Sei ein endlicher Körper.

Dann besitzt genau Elemente, wobei eine Primzahl ist und .

Beweis  

Der endliche Körper kann nicht die Charakteristik besitzen, und als Charakteristik eines Körpers kommt ansonsten nach Satz Anhang 5.2 nur eine Primzahl in Frage. Diese sei mit bezeichnet. Das bedeutet, dass den Körper enthält. Damit ist aber ein Vektorraum über , und zwar, da endlich ist, von endlicher Dimension. Sei die Dimension, . Dann hat man eine -Vektorraumisomorphie

und somit besitzt gerade Elemente.


Die vorstehende Aussage gilt allgemeiner für endliche Ringe, die einen Körper enthalten. Es sei schon jetzt erwähnt, dass es zu jeder Potenz bis auf Isomorphie genau einen Körper mit Elementen gibt. Dies werden wir in der übernächsten Vorlesung beweisen. Für einige Beispiele siehe auch die Aufgaben.


Beispiel  

Wir konstruieren einen Körper mit Elementen und knüpfen dabei an Beispiel 9.9 an. Da die primitiv ist, folgt, dass das Polynom irreduzibel ist. Andernfalls müsste es eine Nullstelle haben und dann wäre ein Quadrat mit . Doch dann wäre , was nicht der Fall ist.

Es folgt nach Satz 7.6, dass

ein Körper ist. Dieser hat Elemente, da man jede Restklasse auf genau eine Weise als  mit schreiben kann ( bezeichne die Restklasse von ). Dieser Körper enthält , und die Ordnungen dieser Elemente ändern sich nicht (und sie sind insbesondere nicht primitiv im größeren Körper).

Wir möchten eine primitive Einheit in diesem Körper finden und orientieren uns an Lemma 9.2. Die Ordnung von ist . Wir müssen für jede dieser Primzahlpotenzen ein Element mit dieser Ordnung finden. Die hat die Ordnung . Das Element hat die Ordnung , es ist nämlich

Um ein Element der Ordnung zu finden, ziehen wir sukzessive Quadratwurzeln aus . Es ist

Eine Quadratwurzel aus ist , wegen

Um eine Quadratwurzel für zu finden, setzen wir an, was zum Gleichungssystem und über führt. Es ist dann , was zu bzw. zur biquadratischen Gleichung

führt. Normieren ergibt . Quadratisches Ergänzen führt zu

Daher ist und somit und , also ist ein Element der Ordnung . Damit ist insgesamt

eine primitive Einheit nach Lemma 9.2.




Satz  

Sei ein endlicher Körper.

Dann ist das Produkt aller von verschiedener Elemente aus gleich .

Beweis  

Die Gleichung hat in einem Körper nur die Lösungen und , die allerdings gleich sein können. Das bedeutet, dass für immer ist. Damit kann man das Produkt aller Einheiten als

schreiben. Ist , so ist das Produkt . Ist hingegen , so fehlt in dem Produkt der zweite Faktor und das Produkt ist .


Die folgende Aussage heißt Satz von Wilson.



Korollar  

Sei eine Primzahl.

Dann ist .

Beweis  

Dies folgt unmittelbar aus Satz 9.14, da ja die Fakultät durch alle Zahlen zwischen und läuft, also durch alle Einheiten im Restklassenkörper .




Fußnoten
  1. Insbesondere gibt es, wenn es überhaupt primitive Einheitswurzeln gibt, genau primitive Einheitswurzeln, wobei die eulersche -Funktion bezeichnet. Siehe Vorlesung 19.


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