Kurs:Lineare Algebra/Teil I/22/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	3	5	6	8	3	2	4	3	4	2	6	4	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das lineare Gleichungssystem

${}4x-5y+7z=-3\,,$

${}-2x+4y+3z=9\,,$

${}x=-2\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Übergangsmatrizen ${}M_{\mathfrak {v}}^{\mathfrak {u}}$ und ${}M_{\mathfrak {u}}^{\mathfrak {v}}$ für die Standardbasis ${}{\mathfrak {u}}$ und die durch die Vektoren

$v_{1}={\begin{pmatrix}1\\4\\5\end{pmatrix}},\,\,v_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}\,{\text{ und }}\,v_{3}={\begin{pmatrix}-1\\1\\0\end{pmatrix}}$

gegebene Basis ${}{\mathfrak {v}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$, eine kommutative Gruppe ${}(V,+,0)$ und eine Abbildung

$K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,$

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

$(7)\,\,\,r(u+v)=ru+rv$

erfüllt.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Basisaustauschsatz.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, welche der folgenden elementargeometrischen Abbildungen linear, welche diagonalisierbar und welche trigonalisierbar sind.

1. Die Achsenspiegelung durch die durch ${}4x-7y=0$ gegebene Achse.
2. Die Verschiebung um den Vektor ${}\left(5,\,-3\right)$.
3. Die Drehung um ${}30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn um den Ursprung.
4. Die Punktspiegelung mit dem Punkt ${}(1,0)$ als Zentrum.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme den Rang der Matrix

${\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&1\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine untere Dreiecksmatrix. Zeige, ausgehend von der Definition der Determinante, dass die Determinante von ${}M$ das Produkt der Diagonaleinträge ist (es darf verwendet werden, dass die Determinante zu einer Matrix mit einer Nullzeile gleich ${}0$ ist).

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\geq 2$. Zeige, dass es gleich viele gerade und ungerade Permutationen auf ${}{\{1,\ldots ,n\}}$ gibt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Formuliere und beweise die Lösungsformel für eine quadratische Gleichung

${}ax^{2}+bx+c=0\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$, ${}a\neq 0$.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}a\in K$ und ${}P\in K[X]$ ein Polynom mit ${}P(a)\neq 0$.

1. Zeige, dass ${}X-a$ und ${}P$ teilerfremd sind.
2. Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass ${}(X-a)^{k}$ und ${}P$ teilerfremd sind.

Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{3}\longrightarrow {\mathbb {C} }^{3},$

die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}1&2&1+2{\mathrm {i} }\\0&3{\mathrm {i} }&{\mathrm {i} }\\0&0&1-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}\,$

beschrieben wird.

a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von ${}A$.

b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.

c) Stelle die Matrix für ${}\varphi$ bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.

Aufgabe (4 (2+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine nilpotente lineare Abbildung. Der Kern von ${}\varphi$ sei eindimensional. Es sei

${}V_{i}=\operatorname {kern} \varphi ^{i}\,$

und ${}s$ die minimale Zahl mit

${}\varphi ^{s}=0\,.$

1. Zeige, dass alle ${}V_{i}$, ${}1\leq i\leq s$, eine direkte Zerlegung

   ${}V_{i}=V_{i-1}\oplus U_{i}\,$

   mit ${}U_{i}$ eindimensional haben.

2. Zeige, dass die Einschränkungen

   $\varphi \colon U_{i}\longrightarrow V_{i-1}$

   für ${}1<i<s$ bijektiv sind.

3. Zeige, dass ${}s$ mit der Dimension von ${}V$ übereinstimmt.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wie viele jordansche Normalformen (bis auf Ähnlichkeit) zu ${}4\times 4$-Matrizen gibt es, bei denen in der Diagonalen der konstante Wert ${}c$ steht?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.