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Kurs:Lineare Algebra/Teil I/23/Klausur/kontrolle

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 1 4 4 4 1 8 1 6 4 3 3 4 7 4 4 64








Es sei eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

Ist diese Verknüpfung assoziativ?



Beweise



Löse das inhomogene Gleichungssystem



Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum .



Bestimme den Rang der Matrix

zu .



Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.



Berechne die Determinante der Matrix



Wir betrachten die durch die Wertetabelle

gegebene Permutation zu

Bestimme das Signum von auf möglichst viele unterschiedliche Arten.



Von einem Rechteck sind der Umfang und die Fläche bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.



Es sei .

  1. Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.
  2. Finde eine Darstellung der mit diesen beiden Polynomen.



Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung und sei das Minimalpolynom von . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn nicht injektiv ist.



Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.



Es sei ein - dimensionaler - Vektorraum über einem Körper . Es sei

eine Fahne in . Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

derart gibt, dass diese Fahne die einzige - invariante Fahne ist.



Es sei

eine Jordan-Matrix. Bestimme die jordansche Normalform der Potenzen für alle .



Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung