Kurs:Lineare Algebra/Teil I/23/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	1	4	4	4	1	8	1	6	4	3	3	4	7	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge. Wir betrachten die Verknüpfung

${\mathfrak {P}}\,(M)\times {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow {\mathfrak {P}}\,(M),\,(A,B)\longmapsto A\setminus B.$

Ist diese Verknüpfung assoziativ?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise

${}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\binom {n}{i}}2^{i}=(-1)^{n}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+y&+z&\,\,\,\,-w&=&3\\-2x&+5y&-3z&+w&=&0\\x&\,\,\,\,-y&+2z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&2\\5x&+2y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&-1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Dimension eines Untervektorraum ${}U\subseteq V$.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Bestimme den Rang der Matrix

${\begin{pmatrix}1&x&x^{2}\\x&x^{2}&x^{3}\\x^{2}&x^{3}&x^{4}\end{pmatrix}}$

zu ${}x\in K$.

Aufgabe * (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}2+6{\mathrm {i} }&8-3{\mathrm {i} }\\5-{\mathrm {i} }&3+7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die durch die Wertetabelle

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}\ldots$	${}n-2$	${}n-1$	${}n$
${}\pi (x)$	${}2$	${}3$	${}4$	${}\ldots$	${}n-1$	${}n$	${}1$

gegebene Permutation ${}\pi$ zu

${}n\geq 2\,.$

Bestimme das Signum von ${}\pi$ auf möglichst viele unterschiedliche Arten.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Von einem Rechteck sind der Umfang ${}U$ und die Fläche ${}A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}n\geq 2$.

1. Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=X^{n-1}+X^{n-2}+\cdots +X^{2}+X+1$ und ${}T=X-1$ durch.
2. Finde eine Darstellung der ${}1$ mit diesen beiden Polynomen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine lineare Abbildung und sei ${}Q$ das Minimalpolynom von ${}\varphi$. Zeige, dass ${}0$ genau dann eine Nullstelle von ${}Q$ ist, wenn ${}\varphi$ nicht injektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$ wohldefiniert ist, also unabhängig von der gewählten Basis.

Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$- Vektorraum über einem Körper ${}K$. Es sei

${}0=V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{n-1}\subset V_{n}=V\,$

eine Fahne in ${}V$. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

derart gibt, dass diese Fahne die einzige ${}\varphi$- invariante Fahne ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}M={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}\,$

eine Jordan-Matrix. Bestimme die jordansche Normalform der Potenzen ${}M^{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung

${}7x+y-3z+5w=1\,.$