Kurs:Lineare Algebra/Teil I/27/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	3	4	1	4	7	5	4	2	6	1	3	3	7	3	2	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Produktmenge aus zwei Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Der von einer Familie von Vektoren ${}v_{i},\,i\in I$, aus einem ${}K$- Vektorraum ${}V$ aufgespannte Untervektorraum.
3. Die Elementarmatrizen.
4. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$.
5. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert ${}\lambda$ zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.

6. Ein affiner Unterraum ${}F\subseteq E$ in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W.$

2. Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.
3. Der Satz über die jordansche Normalform.

Aufgabe (1 Punkt)

Hat die lineare Algebra etwas mit einem Lineal zu tun?

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Ist die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{2},$

1. injektiv?
2. surjektiv?

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+2y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+w&=&1\\-2x&-3y&\,\,\,\,-z&\,\,\,\,-w&=&-5\\3x&+y&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2w&=&3\\-x&\,\,\,\,-y&+z&-3w&=&-2\,.\end{matrix}}$

Aufgabe (1 Punkt)

Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.

${}\,$

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

1. Bestimme die invertierbaren ${}2\times 2$- Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen.
2. Welche davon sind zu sich selbst invers?

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$. Es seien ${}v_{1},v_{2},v_{3}$ und ${}w_{1},w_{2},w_{3}$ Vektoren in ${}V$, die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung ${}\varphi \colon V\rightarrow V$ derart gibt, dass

${}\varphi (v_{i})\in Kw_{i}\,$

für ${}i=1,2,3$ gilt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}I$ und ${}J$ endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

$\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}\times \operatorname {Abb} \,{\left(J,K\right)}\longrightarrow \operatorname {Abb} \,{\left(I\times J,K\right)},\,(f,g)\longmapsto f\otimes g,$

mit

${}(f\otimes g)(i,j):=f(i)\cdot g(j)\,$

multilinear ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl der Permutationen auf einer endlichen Menge.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine Darstellung der ${}1$ für das Zahlenpaar ${}11$ und ${}13$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass

${}z={\sqrt[{3}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{3}]{-1-{\sqrt {2}}}}\,$

eine Nullstelle des Polynoms

$X^{3}+3X+2$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

${\begin{pmatrix}10&4&0\\-9&-2&0\\0&0&11\end{pmatrix}}$

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}3&1&4\\0&3&2\\0&0&3\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}3&1&0\\0&3&1\\0&0&3\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

${}4x+7y=3\,$

im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ gegebene Gerade.