Kurs:Lineare Algebra/Teil I/27/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 2 3 4 1 4 7 5 4 2 6 1 3 3 7 3 2 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  2. Der von einer Familie von Vektoren , aus einem -Vektorraum aufgespannte Untervektorraum.
  3. Die Elementarmatrizen.
  4. Ein Gruppenhomomorphismus zwischen Gruppen und .
  5. Die algebraische Vielfachheit von einem Eigenwert zu einer linearen Abbildung

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum .

  6. Ein affiner Unterraum in einem affinen Raum über dem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung
  2. Der Satz über funktorielle Eigenschaften von Homomorphismenräumen.
  3. Der Satz über die jordansche Normalform.


Aufgabe (1 Punkt)

Hat die lineare Algebra etwas mit einem Lineal zu tun?


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Ist die Abbildung

  1. injektiv?
  2. surjektiv?


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem


Aufgabe (1 Punkt)

Addiere die beiden folgenden Vektoren graphisch.











Linear unabhängige Vektoren im R^2.svg











Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

  1. Bestimme die invertierbaren -Matrizen über dem Körper mit zwei Elementen.
  2. Welche davon sind zu sich selbst invers?


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ein zweidimensionaler Vektorraum über einem Körper . Es seien und Vektoren in , die jeweils paarweise linear unabhängig seien. Zeige, dass es eine bijektive lineare Abbildung derart gibt, dass

für gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper und seien und endliche Indexmengen. Zeige, dass die Abbildung

mit

multilinear ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl der Permutationen auf einer endlichen Menge.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde eine Darstellung der für das Zahlenpaar und .


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass

eine Nullstelle des Polynoms

ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.


Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Summe von Haupträumen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der durch die Matrix

beschrieben wird.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Punktrichtungsform für die durch die Gleichung

im gegebene Gerade.