Kurs:Lineare Algebra/Teil I/28/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 2 3 4 3 1 3 3 2 0 4 4 4 6 3 6 3 4 61



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Matrizenmultiplikation.
  2. Die durch eine -Matrix festgelegte lineare Abbildung

    zwischen -Vektorräumen und bezüglich einer Basis von und einer Basis von .

  3. Die lineare Unabhängigkeit einer (nicht notwendigerweise endlichen) Familie von Vektoren , , in einem -Vektorraum .
  4. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .

  5. Das Einheitsideal in einem kommutativen Ring .
  6. Ein affiner Raum über einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Nichtnullteilereigenschaft in einem Körper .
  2. Der Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
  3. Der Satz über die jordansche Normalform für einen nilpotenten Endomorphismus.


Aufgabe * (2 Punkte)

Negiere den Satz „Kein Schwein ruft mich an und keine Sau interessiert sich für mich“ durch (eine) geeignete Existenzaussage(n).


Aufgabe * (3 Punkte)

Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.

  1. „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
  2. „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
  3. „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.

Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

  1. Es sei die Menge aller (lebenden oder verstorbenen) Menschen. Untersuche die Abbildung

    die jedem Menschen seine Mutter zuordnet, auf Injektivität und Surjektivität.

  2. Welche Bedeutung hat die Hintereinanderschaltung ?
  3. Wie sieht es aus, wenn man die gleiche Abbildungsvorschrift nimmt, sie aber auf die Menge aller Einzelkinder und auf die Menge aller Mütter einschränkt?
  4. Seien Sie spitzfindig (evolutionsbiologisch oder religiös) und argumentieren Sie, dass die Abbildung in (1) nicht wohldefiniert ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Wir fassen die Lösung eines Sudokus (unabhängig von Zahlenvorgaben) als eine Abbildung

auf. Charakterisiere mit dem Begriff der Bijektivität, dass eine korrekte Lösung vorliegt.


Aufgabe * (1 Punkt)

Eine Termitenkönigin legt Eier pro Tag und lebt zwanzig Jahre lang. Wie viele Eier legt sie in ihrem Leben?


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die Matrizen

eine kommutative Gruppe bilden, in der jedes Element zu sich selbst invers ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass das lineare Gleichungssystem

nur die triviale Lösung besitzt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Beweise den Satz über den Basiswechsel.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.


Aufgabe * (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei mit . Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von die Form , , besitzen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme die Determinante von

über dem Körper .


Aufgabe * (6 (2+3+1) Punkte)

Ein Metallarbeiter hat zwei Metallstäbe zur Verfügung. Wenn er den kleinen siebenmal hintereinanderlegt, erhält er genau drei Meter. Wenn er den großen achtmal hintereinanderlegt, erhält er genau fünf Meter.

  1. Wie kann er allein mit diesen Stäben eine Länge von einem Meter bestimmen?
  2. Was ist die kleinste positive Strecke, die er mit den Stäben messen kann?
  3. Welche Streckenlängen kann er mit seinen beiden Metallstäben messen?


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung auf dem -Vektorraum , es seien mit und es sei die Streckung zu . Zeige, dass genau dann ein Eigenwert zu ist, wenn ein Eigenwert zur Hintereinanderschaltung ist.


Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von diagonalisierbar mit Vielfachheiten.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Es sei eine quadratische Matrix, die in der Diagonalen aus den Jordanblöcken

besteht.

  1. Bestimme das charakteristische Polynom von .
  2. Bestimme das Minimalpolynom von .


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde eine affine Basis für die Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung