Kurs:Lineare Algebra/Teil I/40/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	2	4	3	4	2	7	6	4	6	4	4	4	4	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$.
2. Eine Diagonalmatrix.
3. Eine Basis eines ${}K$- Vektorraums ${}V$.
4. Ein Fehlstand zu einer Permutation

   $\pi \colon {\{1,\ldots ,n\}}\longrightarrow {\{1,\ldots ,n\}}.$

5. Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$

6. Ein affiner Unterraum ${}F\subseteq E$ in einem affinen Raum ${}E$ über dem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Das Basisaustauschlemma.
2. Der Satz über das direkte Komplement in einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$.
3. Der Determinantenmultiplikationssatz.

Aufgabe (2 Punkte)

In einer U-Bahn-Station wird der Zugang und der Ausgang über eine elektronische Karte geregelt, die man an einen Sensor halten muss, damit sich die Schranke öffnet. Es gibt 5 Ausgänge, aber nur 2 Zugänge. Was haben sich die Leute dabei vermutlich gedacht?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und seien  ${}A\subseteq M$  und  ${}B\subseteq N$  Teilmengen. Zeige die Gleichheit

${}{\left(A\times N\right)}\cap {\left(M\times B\right)}=A\times B\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ zwei ${}K$- Vektorräume. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine bijektive lineare Abbildung. Zeige, dass dann auch die Umkehrabbildung

$\varphi ^{-1}\colon W\longrightarrow V$

linear ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien die beiden Untervektorräume

${}U={\left\{s{\begin{pmatrix}4\\1\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}}\mid s,t\in \mathbb {R} \right\}}\,$

und

${}V={\left\{p{\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}+q{\begin{pmatrix}0\\5\\6\end{pmatrix}}\mid p,q\in \mathbb {R} \right\}}\,$

gegeben. Bestimme eine Basis für ${}U\cap V$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass die Spur

$\operatorname {Mat} _{n\times n}(K)\longrightarrow K,\,A\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(A\right)},$

im Allgemeinen nicht mit der Multiplikation verträglich ist (dass also im Allgemeinen ${}\operatorname {Spur} {\left(A\circ B\right)}\neq \operatorname {Spur} {\left(A\right)}\cdot \operatorname {Spur} {\left(B\right)}$ gilt).

Aufgabe * (7 (1+1+1+1+3) Punkte)

Wir betrachten die reelle Matrix

${}M={\begin{pmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}&-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}\,.$

a) Skizziere die Bildvektoren ${}Me_{1}$ und ${}Me_{2}$.

b) Berechne ${}M^{2}$.

c) Berechne ${}M^{4}$ und ${}M^{8}$.

d) Berechne ${}M^{1003}$.

e) Zeige, dass die Potenzen ${}M^{i}$, ${}i=0,1,\ldots ,7$, eine Gruppe mit acht Elementen bilden.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei

$\Phi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

eine multilineare Abbildung und es seien  ${}v_{i1},\ldots ,v_{im_{i}}\in V_{i}$  und  ${}a_{ij_{i}}\in K$  zu  ${}i=1,\ldots ,n$  und  ${}j_{i}=1,\ldots ,m_{i}$.  Zeige

${}{\begin{aligned}\Phi {\left(\sum _{j=1}^{m_{1}}a_{1j}v_{1j},\ldots ,\sum _{j=1}^{m_{n}}a_{nj}v_{nj}\right)}&=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,\ldots ,m_{1}\}\times \cdots \times \{1,\ldots ,m_{n}\}}a_{1j_{1}}\cdots a_{nj_{n}}\Phi {\left(v_{1j_{1}},\ldots ,v_{nj_{n}}\right)}.\,\end{aligned}}$

Aufgabe * (4 (3+1) Punkte)

1. Zeige durch Induktion über ${}n$, dass die Determinante einer ${}n\times n$-Matrix, deren sämtliche Einträge ganze Zahlen sind, ebenfalls eine ganze Zahl ist.
2. Man gebe ein Beispiel für eine Matrix, deren sämtliche Einträge positive natürliche Zahlen sind und deren Determinante negativ ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise den Satz, dass das Signum ein Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}n$ verschiedene Zahlen  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$  und Zahlen  ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$  gegeben. Zeige, dass es ein eindeutig bestimmtes normiertes Polynom ${}Q$ vom Grad ${}n$ gibt, das  ${}Q(a_{i})=b_{i}$  für alle ${}i$ erfüllt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler von ${}X^{3}-1$ und ${}X^{4}-1$ sowie eine Darstellung davon.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte und die Eigenräume der Matrix

${}M={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\-3&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}\,$

über ${}{\mathbb {C} }$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme eine Basis des ${}K^{3}$, bezüglich der die Matrix

${}M={\begin{pmatrix}0&2&3\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}}\,$

jordansche Normalform besitzt. Wie sieht die jordansche Normalform aus?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für affine Abbildungen.