Kurs:Lineare Algebra/Teil I/42/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	3	2	1	2	2	3	7	1	6	6	5	7	6	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

Eine Abbildung ${}F$ von einer Menge ${}L$ in eine Menge ${}M$ .
Die transponierte Matrix zu einer ${}m\times n$ -Matrix ${}M=(a_{ij})_{1\leq i\leq m,\,1\leq j\leq n}$ .
Eine Linearform auf einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ , wobei ${}K$ ein Körper ist.
Ein Eigenwert zu einer linearen Abbildung
$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem ${}K$ - Vektorraum ${}V$ .
Eine invariante Fahne zu einer linearen Abbildung
$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}.$
Ein affiner Unterraum eines ${}K$ - Vektorraumes ${}V$ .

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

Der Basisergänzungssatz.
Der Satz über lineare Abbildungen zwischen gleichdimensionalen Vektorräumen.
Der Satz über Eigenwerte und das charakteristische Polynom.

Aufgabe * (1 Punkt)

Das Brötchen von vorvorgestern ist überüberübermorgen von ....?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von ${}7$ und der andere ein Fassungsvermögen von ${}10$ Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für einen Körper ${}K$ , eine kommutative Gruppe ${}(V,+,0)$ und eine Abbildung

K\times V\longrightarrow V,\,(s,v)\longmapsto sv,

derart, dass diese Struktur alle Vektorraumaxiome außer

(8)\,\,\,(r+s)u=ru+su

erfüllt.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}D$ die Menge aller reellen ${}2\times 2$ -Matrizen

{\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}},

die die Bedingung

{}a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}=0\,

erfüllen. Zeige, dass ${}D$ kein Untervektorraum im Raum aller ${}2\times 2$ -Matrizen ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass die beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}2\\3\\1\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}4\\6\\3\end{pmatrix}}$ im ${}\mathbb {R} ^{3}$ linear unabhängig sind.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\rightarrow \mathbb {Q} ^{2}$ eine lineare Abbildung mit

{}\varphi (e_{1})={\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}\,,

{}\varphi (e_{2})={\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\,

und

{}\varphi (e_{3})={\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}}\,.

Berechne ${}\varphi {\left({\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}\right)}$ .

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}U,V,W$ Vektorräume über ${}K$ . Es seien

\varphi \colon U\rightarrow V{\text{ und }}\psi \colon V\rightarrow W

lineare Abbildungen. Zeige, dass dann auch die Verknüpfung

\psi \circ \varphi \colon U\longrightarrow W

eine lineare Abbildung ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

{\begin{pmatrix}1&8&0\\3&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}}.

Aufgabe * (7 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von invertierbaren Matrizen mit der Determinante.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei ${}\tau$ eine Transposition auf einer Menge mit ${}1000001$ Elementen. Wie viele Fixpunkte besitzt ${}\tau$ ?

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Leibniz-Formel für die Determinante direkt aus dem Distributivgesetz für multilineare Abbildungen.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Zeige, dass es keinen Ringhomomorphismus

\varphi \colon \operatorname {Mat} _{2\times 2}(K)\longrightarrow K,\,A\longmapsto \varphi (A),

gibt.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

{}P=X^{3}+bX^{2}+cX+d\,

ein normiertes Polynom über einem Körper ${}K$ . Es seien ${}u,v,w$ drei (verschiedene) Zahlen aus ${}K$ . Zeige, dass diese drei Zahlen genau dann Nullstellen von ${}P$ sind, wenn sie das Gleichungssystem