Kurs:Lineare Algebra/Teil I/49/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	3	7	4	8	3	8	3	2	3	6	5	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Äquivalente (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge über einem Körper ${}K$.
3. Der Kern einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen zwei ${}K$-Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

4. Ein Eigenvektor zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow V$

   auf einem ${}K$- Vektorraum ${}V$.

5. Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.
6. Eine baryzentrische Kombination in einem affinen Raum ${}E$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Dimension von Untervektorräumen für den Durchschnitt und die Summe.
2. Der Satz über den Zusammenhang zwischen der Verknüpfung linearer Abbildungen und der Matrizenmultiplikation (genaue Formulierung mit Basen).
3. Der allgemeine Entwicklungssatz für die Determinante.

Aufgabe (3 Punkte)

Erläutere Vor- und Nachteile des axiomatischen Aufbaus der Mathematik.

Aufgabe * (7 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel ${}(a,b,c,d)$ nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das inhomogene lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+y&+z&+w&=&0\\-2x&+3y&\,\,\,\,-z&+2w&=&3\\3x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+2z&+5w&=&7\\-x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+5z&+3w&=&1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise die Dimensionsformel für eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&1&0\\7&2&1\\0&0&4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz über die natürliche Abbildung eines Vektorraumes in sein Bidual.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Die Knopfloch-Raute entsteht aus der Merkel-Raute (bei der die Fingerspitzen der linken Hand ihr jeweiliges natürliches (anatomisches) Gegenüber der rechten Hand berühren), indem die linke Daumenspitze auf der rechten Daumenspitze bleibt, dann die linke Hand um ${}180$ Grad (um die linke Unterarmachse) gedreht wird (dazu muss man den Kontakt zwischen den anderen Fingerspitzen auflösen) und dann die Fingerspitzen der linken Hand ihre im Raum (nicht anatomisch) gegenüberliegen Fingerspitzen der rechten Hand berühren lässt. Diese Knopfloch-Raute wurde von Professor Knopfloch erfunden und ist inzwischen das Erkennungszeichen der Mitglieder des Vereins zur Förderung der Permutationen von Hand und Hirn.

a) Erstelle eine Wertetabelle für die Knopfloch-Raute, aufgefasst als bijektive Abbildung von der Menge der linken Finger in die Menge der rechten Finger.

b) Bestimme die Anzahl der Fehlstände der Knopfloch-Raute (dazu muss man die Fingermenge in natürlicher Weise durchnummerieren und die Knopfloch-Raute als eine Permutation auffassen).

c) Bestimme das Signum der Knopfloch-Raute.

Aufgabe * (2 Punkte)

Begründe geometrisch, dass die Wurzeln ${}{\sqrt {n}}$, ${}n\in \mathbb {N}$, als Länge von „natürlichen“ Strecken vorkommen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Führe in ${}\mathbb {Q} [X]$ die Division mit Rest „${}P$ durch ${}T$“ für die beiden Polynome ${}P=6X^{3}+X+1$ und ${}T=3X^{2}+2X-4$ durch.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}n$ verschiedene Elemente  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$  und ${}n$ Elemente  ${}b_{1},\ldots ,b_{n}\in K$  gegeben. Zeige, dass es ein eindeutiges Polynom  ${}P\in K[X]$  vom Grad ${}\leq n-1$ derart gibt, dass  ${}P(a_{i})=b_{i}$  für alle ${}i$ ist.

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Wir betrachten die komplexe Matrix

${}M={\begin{pmatrix}2&0&-2\\5&3-{\mathrm {i} }&0\\{\mathrm {i} }&3&4\end{pmatrix}}\,.$

a) Bestimme das charakteristische Polynom von ${}M$.

b) Berechne ${}M^{2}$ und ${}M^{3}$.

c) Bestätige den Satz von Cayley-Hamilton für ${}M$ durch eine explizite Rechnung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Eine lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

werde bezüglich der Standardbasis durch die Matrix

${\begin{pmatrix}13&2&1\\0&13&2\\0&0&13\end{pmatrix}}$

beschrieben. Finde eine Basis, bezüglich der ${}\varphi$ durch die Matrix

${\begin{pmatrix}13&1&0\\0&13&1\\0&0&13\end{pmatrix}}$

beschrieben wird.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}E$ und ${}F$ affine Räume über den Vektorräumen ${}V$ bzw. ${}W$. Es sei eine Abbildung

$\psi \colon E\longrightarrow F,$

eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

und ein Punkt  ${}P\in E$  derart gegeben, dass

${}\psi (P+v)=\psi (P)+\varphi (v)\,$

für alle  ${}v\in V$  gilt. Zeige, dass ${}\psi$ affin-linear ist.