Kurs:Lineare Algebra/Teil II/1/Klausur/kontrolle
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
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Punkte | 3 | 3 | 1 | 7 | 4 | 5 | 2 | 8 | 1 | 3 | 4 | 4 | 3 | 3 | 2 | 10 | 63 |
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Bestimme das orthogonale Komplement zu dem von erzeugten Untervektorraum im .
Aufgabe * (7 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein euklidischer Vektorraum und sei
eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft, dass die Determinante von gleich oder ist. Ferner besitze die Eigenschaft, dass zueinander orthogonale Vektoren stets auf orthogonale Vektoren abgebildet werden. Zeige, dass eine Isometrie ist.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und der durch
gegebenen Geraden und den Lotfußpunkt des Punktes auf der Geraden.
Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Kathetensatz vektoriell.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein - dimensionaler - Vektorraum mit einer Bilinearform vom Typ und es sei ein -dimensionaler Untervektorraum. Die Einschränkung der Bilinearform sei vom Typ . Zeige
Aufgabe * (8 (4+4) Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum mit Skalarprodukt und es sei
die direkte Summe der Untervektorräume und . Es seien
und
die Summe davon.
- Die Summenzerlegung sei zusätzlich orthogonal, d.h.
und
stehen senkrecht aufeinander. Zeige
- Zeige, dass die Aussage aus Teil (1) nicht gilt, wenn die Summenzerlegung nicht orthogonal ist.
Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine Menge mit Elementen. Bestimme die Anzahl der Relationen auf , die
- reflexiv
- symmetrisch
- reflexiv und symmetrisch
sind.
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei ein endlicher Körper (mit Elementen). Bestimme die Anzahl der Elemente in
Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Zeige, dass ein Endomorphismus
mit endlicher Ordnung auf einem endlichdimensionalen - Vektorraum stabil ist.
Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei eine spaltenstochastische Matrix. Zeige, dass das Bild eines jeden Verteilungsvektors wieder ein Verteilungsvektor ist.
Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Drücke das Dachprodukt in der Standardbasis von aus.
Aufgabe * (10 Punkte)Referenznummer erstellen
Beweise den Satz über Basen in einem Dachprodukt zu einem endlichdimensionalen - Vektorraum .