Kurs:Lineare Algebra/Teil II/14/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 2 3 2 0 8 2 4 3 0 3 4 3 0 42



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das orthogonale Komplement zu einem Untervektorraum in einem -Vektorraum mit Skalarprodukt.
  2. Die Höhe in einem Dreieck.
  3. Ein normaler Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen -Vektorraum mit Skalarprodukt .

  4. Die Quotientenmenge zu einer Äquivalenzrelation auf einer Menge .
  5. Ein orientierter -Vektorraum.
  6. Die Äquivalenz von zwei Normen und auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Charakterisierung von reellen Isometrien mit Matrizen.
  2. Der Satz über den Abstand eines Vektors zu einem Untervektorraum in einem euklidischen Vektorraum .
  3. Der Konvergenzsatz für stochastische Matrizen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ein -Vektorraum mit einem Skalarprodukt . Zeige, dass für die Abschätzung genau dann gilt, wenn ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Berechne das Kreuzprodukt

im .


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt und sämtlichen Untervektorräumen zu .


Aufgabe (2 Punkte)

Beschreibe die eulersche Gerade in einem gleichschenkligen, nicht gleichseitigen Dreieck.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere für einen zweidimensionalen Minkowski-Raum den Lichtkegel und die Menge der Beobachtervektoren und zeichne dabei eine Zukunftsrichtung aus.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum und eine Basis von . Es sei das durch

definierte Skalarprodukt auf . Zu einer linearen Abbildung bezeichne die (über ) zugehörige Sesquilinearform. Zeige, dass die Gramsche Matrix von bezüglich der Basis mit der beschreibenden Matrix von bezüglich der Basis übereinstimmt.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten auf den komplexen Zahlen die Relation, bei der zwei Zahlen als äquivalent gelten, wenn ihre -te Potenz übereinstimmt.

  1. Zeige, dass dies eine Äquivalenzrelation ist.
  2. Wie viele Elemente beinhalten die Äquivalenzklassen (verwende, dass es komplexe Zahlen mit gibt)?


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz von Lagrange.


Aufgabe * (4 Punkte)

Betrachte die Doppelpyramide der Höhe über dem Quadrat mit den Eckpunkten . Wie nennt man die eigentliche Symmetriegruppe dieses Objektes? Bestimme die Matrizen bezüglich der Standardbasis, die die eigentlichen Symmetrien der Doppelpyramide beschreiben.


Aufgabe * (3 Punkte)

Finde einen Eigenvektor zur Matrix

mit

zum Eigenwert . Handelt es sich um eine Eigenverteilung?


Aufgabe (0 Punkte)