Kurs:Lineare Algebra/Teil II/19/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 2 2 4 0 1 2 0 4 0 6 0 0 0 0 27



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Das Standardskalarprodukt auf dem .
  2. Eine eigentliche Isometrie

    auf einem euklidischen Vektorraum .

  3. Ein Minkowski-Raum.
  4. Ein Normalteiler in einer Gruppe .
  5. Eine beschränkte Teilmenge in einem metrischen Raum .
  6. Die aus einer -linearen Abbildung

    durch einen Körperwechsel gewonnene -lineare Abbildung.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Kosinussatz.
  2. Der Spektralsatz für selbstadjungierte Endomorphismen.
  3. Der Charakterisierungssatz für stabile Endomorphismen.


Aufgabe * (2 Punkte)

Sei ein Vektorraum über mit einem Skalarprodukt und der zugehörigen Norm . Zeige, dass die Beziehung

gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass die Gruppe der räumlichen Drehungen nicht kommutativ ist.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Höhensatz mit Hilfe des Kathetensatzes.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (1 Punkt)

Zeige, dass für eine hermitesche Form auf einem -Vektorraum die Werte zu stets reell sind.


Aufgabe (2 Punkte)

Eine komplexe Zahl definiert einen Endomorphismus . Skizziere in der Ebene diejenigen komplexen Zahlen mit der Eigenschaft, dass eine Isometrie, selbstadjungiert, eine selbstadjungierte Isometrie bzw. normal ist.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Kernkriterium für die Injektivität eines Gruppenhomomorphismus


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (6 (2+2+2) Punkte)

Es sei die eigentliche Symmetriegruppe des achsenparallelen Würfels. Man gebe explizite (in Matrixbeschreibung) innere Automorphismen der Würfelgruppe an, die die folgenden Isotropiegruppen zu Achsen ineinander überführen. Welche Matrizen entsprechen dabei welchen Matrizen?

  1. Die Isotropiegruppe zur -Achse und zur -Achse.
  2. Die Isotropiegruppe zur Raumdiagonalen und zur Raumdiagonalen .
  3. Die Isotropiegruppe zur Kantenmittelpunktsachse und zur Kantenmittelpunktsachse .


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe (0 Punkte)