Kurs:Lineare Algebra/Teil II/20/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	$\sum$
Punkte	3	3	3	1	9	5	3	6	1	3	3	3	0	10	0	2	5	3	63

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Orthogonale Vektoren $v,w\in V$ in einem reellen Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt.
2. Der Höhenfußpunkt zu einer Seite in einem Dreieck in der euklidischen Ebene.
3. Eine hermitesche Matrix.
4. Ein normaler Endomorphismus

   $\phi :V⟶V$

   auf einem endlichdimensionalen $𝕂$-Vektorraum mit Skalarprodukt $⟨-,-⟩$.

5. Eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
6. Ein Unterkörper $K$ eines Körpers $L$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Die Polarisationsformel für ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.
2. Das Minorenkriterium für den Typ einer symmetrischen Bilinearform.
3. Der Satz über die universelle Eigenschaft des Dachproduktes.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $V$ ein $ℝ$-Vektorraum mit einem Skalarprodukt $⟨-,-⟩$. Zeige, dass für  $u,v\in V$  die Gleichheit  $\Vert u\Vert =\Vert v\Vert$  genau dann gilt, wenn  $⟨u+v,u-v⟩=0$  ist.

Aufgabe * (1 Punkt)

Erstelle eine Kreisgleichung für den Kreis im ${ℝ}^2$ mit Mittelpunkt $(-5,5)$, der durch den Punkt $(-4,-1)$ läuft.

Aufgabe * (9 (1+2+3+3) Punkte)

In der folgenden Aufgabe sollen Personen in der Ebene so platziert werden, dass je zwei Personen zueinander einen Abstand von zumindest $2$ haben (alle Angaben beziehen sich auf Meter). Die Personen bzw. ihre Platzierung sind dabei durch einen Punkt gegeben.

1. Zeige, dass man auf einem quadratischen $10\times 10$-Platz $36$ Leute platzieren kann (Randpunkte sind erlaubt).
2. Was ist falsch am folgenden Argument: „Auf einem $10\times 10$-Platz kann man höchstens $31$ Leute platzieren. Zu jeder Person gehört nämlich ein Umkreis mit Radius $1$, und zu verschiedenen Personen sind diese Kreise zueinander disjunkt. Zu jeder Person gehört also eine Fläche mit Flächeninhalt  $\pi \cdot 1^2=\pi$.  Diese Flächen liegen ganz in der Gesamtfläche der Größe  $10\cdot 10=100$.  Wegen

   $32\cdot \pi \ge 32\cdot 3,14=100,48>100$

   ist dies für $32$ oder mehr Personen nicht möglich.“

3. Zeige, dass man auf einem $10\times 10$-Platz definitiv nicht $46$ Leute platzieren kann.
4. Zeige, dass man auf einem $10\times 10,5$-Platz $39$ Leute platzieren kann.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es seien $a,b,c$ die Seitenlängen eines Dreiecks. Zeige, dass der Flächeninhalt des Dreiecks gleich

$F=\frac{\sqrt{2a^2{c}^2+2c^2{b}^2+2a^2{b}^2-a^4-b^4-c^4}}{4}$

ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass die Bilinearform genau dann nicht ausgeartet ist, wenn die Gramsche Matrix der Bilinearform bezüglich einer Basis invertierbar ist.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und $⟨-,-⟩$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$. Zeige, dass $V$ eine Orthogonalbasis besitzt.

Aufgabe * (1 Punkt)

Berechne

$⟨\left(\begin{array}{c}6\\ -1\\ 4\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-5\\ -5\\ 7\\ -2\end{array}\right)⟩$

in einem vierdimensionalen Standard-Minkowski-Raum.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Bestimme die Äquivalenzklassen zur Äquivalenzrelation, die durch die möglichen Züge des Springers im Schach gegeben ist, und zwar auf den folgenden Schachbrettern.

1. Das $2\times 2$-Brett.
2. Das $3\times 3$-Brett.
3. Das $4\times 4$-Brett.

Aufgabe (3 Punkte)

Man bringe das Konzept eines inversen Elementes in einer Gruppe mit der Reversibilität von Prozessen in Verbindung.

Aufgabe * (3 Punkte)

Für ein doppelverpacktes Geschenk soll eine würfelförmige Schachtel in eine etwas größere würfelförmige Schachtel hineingelegt werden. Bestimme auf unterschiedliche Arten, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (10 Punkte)

Beweise den Charakterisierungssatz für asymptotisch stabile Endomorphismen.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei $(M,d)$ ein metrischer Raum. Zeige, dass die offenen Kugeln $U(x,ϵ)$ offen sind.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Es sei

$M=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{i}& 1\\ 0& \mathrm{i}\end{array}\right).$

a) Erstelle eine Formel für $M^n$.

b) Ist die Folge $M^n$ beschränkt, ist sie konvergent?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es seien $V_1,\dots ,V_n$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume und es seien

$U_{1,1}\subset U_{1,2}\subset \dots \subset U_{1,{\dim }_K\left(V_1\right)}\subset V_1,\dots ,U_{n,1}\subset U_{n,2}\subset \dots \subset U_{n,{\dim }_K\left(V_n\right)}\subset V_n$

Fahnen in den beteiligten Vektorräumen. Zeige, dass es keine Fahne in $V_1{\otimes }_K\cdots {\otimes }_K{V}_n$ geben muss, in der die einzelnen Unterräume die Gestalt

$U_{1,j_1}{\otimes }_{}\cdots {\otimes }_{}{U}_{n,j_n}$

haben.