Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 3
- Die Pausenaufgabe
Aufgabe
Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.
- Übungsaufgaben
Aufgabe
Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung
Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?
Aufgabe
Man untersuche die Verknüpfung
auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.
Aufgabe
Aufgabe *
Aufgabe
Es sei eine Gruppe und . Drücke das Inverse von durch die Inversen von und aus.
Aufgabe
Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.
Aufgabe
Es sei ein Ring und seien und Elemente in . Berechne das Produkt
Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?
Aufgabe
Aufgabe *
Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel
für und beliebige Elemente in einem Körper .
Aufgabe
Aufgabe
Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.
Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also
Zeige, dass die „beliebte Formel“
nicht gilt.
Aufgabe
Aufgabe
Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge
eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.
Aufgabe
Zeige, dass die einelementige Menge alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ist.
Aufgabe
Es sei ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ein Körperelement zuordnen kann, so dass das Nullelement in und das Einselement in ist und so dass
gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften
besitzt.
Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.
Aufgabe
Aufgabe
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)
Es sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz
als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.
Aufgabe (2 Punkte)
Zeige für einen Körper die folgenden Eigenschaften.
(1) Für jedes ist die Abbildung
(2) Für jedes , , ist die Abbildung
bijektiv.
Aufgabe (3 Punkte)
Zeige, dass die „Rechenregel“
bei (und ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit , wo diese Regel gilt.
Aufgabe (6 Punkte)
Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.
Aufgabe (4 Punkte)
Wir betrachten die Menge
mit den beiden ausgezeichneten Elementen
der Addition
und der Multiplikation
Zeige, dass mit diesen Operationen ein Körper ist.
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