Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil I/Arbeitsblatt 3

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Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Formuliere die binomischen Formeln für zwei reelle Zahlen und beweise die Formeln mit Hilfe des Distributivgesetzes.




Übungsaufgaben

Aufgabe

Betrachte die ganzen Zahlen mit der Differenz als Verknüpfung, also die Abbildung

Besitzt diese Verknüpfung ein neutrales Element? Ist diese Verknüpfung assoziativ, kommutativ, gibt es zu jedem Element ein inverses Element?


Aufgabe

Man untersuche die Verknüpfung

auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.


Aufgabe

Es sei eine Menge und

Zeige, dass mit der Hintereinanderschaltung von Abbildungen eine Gruppe ist.


Aufgabe *

Sei eine Gruppe. Zeige, dass

für alle ist.


Aufgabe

Sei eine Gruppe und . Drücke das Inverse von durch die Inversen von und aus.


Aufgabe

Man konstruiere eine Gruppe mit drei Elementen.


Aufgabe

Sei ein Ring und seien und Elemente in . Berechne das Produkt

Wie lautet das Ergebnis, wenn der Ring kommutativ ist?


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und . Zeige die folgenden Gleichungen:

und


Aufgabe *

Beweise die allgemeine binomische Formel, also die Formel

für und beliebige Elemente in einem Körper .


Aufgabe

Sei ein Ring und eine Menge. Definiere auf der Abbildungsmenge

eine Ringstruktur.


Aufgabe

Es seien Elemente in einem Körper, wobei und nicht null seien. Beweise die folgenden Bruchrechenregeln.

Gilt die zu (8) analoge Formel, die entsteht, wenn man die Addition mit der Multiplikation vertauscht, also

Zeige, dass die „beliebte Formel“

nicht gilt.


Aufgabe

Zeige, dass in einem Körper das „umgekehrte Distributivgesetz“, also

nicht gilt.


Aufgabe

Beschreibe und beweise Regeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden ganzen Zahlen. Man definiere auf der zweielementigen Menge

eine „Addition“ und eine „Multiplikation“, die diese Regeln „repräsentieren“.


Aufgabe

Zeige, dass die einelementige Menge alle Körperaxiome erfüllt mit der einzigen Ausnahme, dass ist.


Aufgabe

Es sei ein Körper. Zeige, dass man jeder natürlichen Zahl ein Körperelement zuordnen kann, so dass das Nullelement in und das Einselement in ist und so dass

gilt. Zeige, dass diese Zuordnung die Eigenschaften

besitzt.

Erweitere diese Zuordnung auf die ganzen Zahlen und zeige, dass die angeführten strukturellen Eigenschaften ebenfalls gelten.


Aufgabe

Skizziere den Graphen der reellen Addition

und den Graphen der reellen Multiplikation


Aufgabe

Es sei ein Körper mit . Zeige, dass für die Beziehung

gilt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge mit dem Durchschnitt als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige für einen Körper die folgenden Eigenschaften.

(1) Für jedes ist die Abbildung

bijektiv.

(2) Für jedes , , ist die Abbildung

bijektiv.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die „Rechenregel“

bei (und ) niemals gilt. Man gebe ein Beispiel mit , wo diese Regel gilt.


Aufgabe (6 Punkte)

Beweise das allgemeine Distributivgesetz für einen Körper.


Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Menge

mit den beiden ausgezeichneten Elementen

der Addition

und der Multiplikation

Zeige, dass mit diesen Operationen ein Körper ist.



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