Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II/Arbeitsblatt 37/kontrolle

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien affine Räume und

eine affin-lineare Abbildung. Zeige, dass der Schwerpunkt der Punkte unter in den Schwerpunkt der Bildpunkte überführt wird.


Aufgabe Aufgabe 37.2 ändern

Zeige, dass ein Dreieck genau dann gleichseitig ist, wenn der Schwerpunkt mit dem Umkreismittelpunkt übereinstimmt.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass es kein gleichseitiges Dreieck im gibt, dessen sämtliche Ecken rationale Koordinaten besitzen.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das Seitenmittelpunktsdreieck eines Dreiecks ähnlich zum Ausgangsdreieck ist.


Aufgabe * Aufgabe 37.5 ändern

Es seien verschiedene Punkte in einer euklidischen Ebene. Zeige, dass die Mittelsenkrechte zu und aus allen Punkten besteht, die zu und den gleichen Abstand haben.


Aufgabe Aufgabe 37.6 ändern

Es seien linear unabhängige Vektoren in . Zeige, dass die Winkelhalbierende zu und mit bzw. den gleichen Winkel bildet.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks in einer euklidischen Ebene unter einer Verschiebung und unter einer winkeltreuen Abbildung auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks in einer euklidischen Ebene unter einer bijektiven affin-linearen Abbildung nicht unbedingt auf den Umkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks in einer euklidischen Ebene unter einer Verschiebung und unter einer winkeltreuen Abbildung auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Inkreismittelpunkt eines Dreiecks in einer euklidischen Ebene unter einer bijektiven affin-linearen Abbildung nicht unbedingt auf den Inkreismittelpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks in einer euklidischen Ebene unter einer Verschiebung und unter einer winkeltreuen Abbildung auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks in einer euklidischen Ebene unter einer bijektiven affin-linearen Abbildung nicht unbedingt auf den Höhenschnittpunkt des Bilddreiecks abgebildet wird.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem Dreieck die Gleichheiten

gelten, wobei die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln sind.


Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ein Dreieck in der Ebene mit den drei Eckpunkten . Zeige, dass man die Höhen, die Mittelsenkrechten, die Winkelhalbierenden und die Seitenhalbierenden mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.


Aufgabe * Referenznummer erstellen

Ein Dreieck soll die Grundseite und die Höhe besitzen (). Für welchen Höhenfußpunkt besitzt das Dreieck einen minimalen Umfang, und wie lange ist dieser?


Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir fassen die Menge aller (auch entarteter, geordneter) Dreiecke im über ihre Koordinaten als den Vektorraum auf. Insbesondere kann man so Dreiecke miteinander addieren und mit einem Skalar multiplizieren.

a) Zeige, dass die Dreiecke und mit nichtausgeartet und zueinander ähnlich sind.


b) Es sei der Schwerpunkt des Dreiecks . Zeige, dass die Dreiecke

linear abhängig sind.


c) Bestimme, ob die folgenden Mengen an Dreiecken Untervektorräume des Dreiecksraumes bilden oder nicht. Wenn ja, so bestimme ihre Dimension.

  1. Die Menge aller nichtentarteten Dreiecke.
  2. Die Menge aller Dreiecke mit als erstem Eckpunkt.
  3. Die Menge aller Dreiecke mit Schwerpunkt .
  4. Die Menge aller gleichseitigen Dreiecke.
  5. Die Menge aller Dreiecke, deren Umkreis der Einheitskreis ist.
  6. Die Menge aller zu einem Punkt zusammengeschrumpften Dreiecke.
  7. Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke.
  8. Die Menge aller rechtwinkligen Dreiecke, deren rechter Winkel sich als erster Punkt in befindet und deren zweiter Punkt auf der -Achse liegt.
  9. Die Menge aller Dreiecke mit Höhenschnittpunkt in .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für das Dreieck den Schwerpunkt, den Umkreismittelpunkt, den Inkreismittelpunkt und den Höhenschnittpunkt.


Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für das Dreieck die eulersche Gerade.


Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme für das Dreieck den Mittelpunkt und den Radius des Feuerbachkreises.


In der folgenden Aufgabe wird auf die Konvergenz von Folgen im Bezug genommen. Sie liegt genau dann vor, wenn beide Komponentenfolgen in konvergieren.

Aufgabe (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Zu einem Dreieck ist das Seitenmittelpunktsdreieck durch die Eckpunkte gegeben. Diese Konstruktion ergibt eine rekursiv definierte Folge von Dreiecken , wobei und das Seitenmittelpunktsdreieck zu ist. Es sei eine Folge in mit für alle . Zeige, dass diese Folge konvergiert und bestimme den Grenzwert.


<< | Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2015-2016)/Teil II | >>

PDF-Version dieses Arbeitsblattes

Zur Vorlesung (PDF)