Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 34/latex
\setcounter{section}{34}
\zwischenueberschrift{Die Diagonalisierbarkeit von Isometrien im Komplexen}
\inputfaktbeweis
{Unitärer Vektorraum/Isometrie/Orthogonales Komplement/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{}
auf einem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
${\mathbb K}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {invarianter Unterraum}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
$U^{ \perp }$ invariant.}
\faktzusatz {Insbesondere kann man $\varphi$ als
\definitionsverweis {direkte Summe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ =} {\varphi_U \oplus \varphi_{U^{ \perp } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, wobei die Einschränkungen \mathkon { \varphi_U } { und } { \varphi_{U^{ \perp }} }{ } ebenfalls Isometrien sind.}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ U^{ \perp }
}
{ =} { { \left\{ v \in V \mid \left\langle v , u \right\rangle=0 \text{ für } \text{alle } u \in U \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Für ein solches
\mathl{v \in U^{ \perp }}{} und ein beliebiges
\mathl{u \in U}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle \varphi(v) , u \right\rangle
}
{ =} { \left\langle \varphi^{-1}(\varphi(v)) , \varphi^{-1}(u) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , u' \right\rangle
}
{ =} { 0
}
{ } {}
}
{}{}{,}
da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u'
}
{ = }{ \varphi^{-1}(u)
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wegen der Invarianz von $U$ liegt. Also ist wieder
\mathl{\varphi(v) \in U^{ \perp }}{.}
Die folgende Aussage heißt \stichwort {Spektralsatz} {} oder genauer \stichwort {Spektralsatz für komplexe Isometrien} {.} Im Verlauf dieses Kurses weredn wir noch weitere Spektralsätze kennenlernen, siehe
Satz 41.11
und
Satz 42.9.
\inputfaktbeweis
{Isometrie/C/Diagonalisierbar/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
${\mathbb C}$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
mit
\definitionsverweis {Skalarprodukt}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt $V$ eine
\definitionsverweis {Orthonormalbasis}{}{}
aus
\definitionsverweis {Eigenvektoren}{}{}
zu $\varphi$. Insbesondere ist $\varphi$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $V$. Im eindimensionalen Fall ist die Aussage klar. Aufgrund
des Fundamentalsatzes der Algebra
und
Satz 23.2
besitzt $\varphi$ einen
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
und einen Eigenvektor, den wir normieren können. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{E
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige
\definitionsverweis {Eigengerade}{}{.}
Da eine Isometrie vorliegt, ist das
\definitionsverweis {orthogonale Komplement}{}{}
$E^{ { \perp } }$ nach
Lemma 34.1
ebenfalls
$\varphi$-\definitionsverweis {invariant}{}{,}
und die Einschränkung
\maabbdisp {\varphi{{|}}_{ E^{ { \perp } } }} {E^{ { \perp } } } {E^{ { \perp } }
} {}
ist ebenfalls eine Isometrie. Nach Induktionsvoraussetzung gibt es also von $E^{ { \perp } }$ eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, die zusammen mit dem ersten Eigenvektor eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von $V$ bildet.
\zwischenueberschrift{Winkel}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arccosine.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Arccosine.svg } {} {Geek 3} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\inputbemerkung
{}
{
Für von $0$ verschiedene Vektoren
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
in einem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$ folgt aus der
der Ungleichung von Cauchy-Schwarz,
dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{-1
}
{ \leq} { \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert }
}
{ \leq} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion \stichwort {Kosinus} {}
\zusatzklammer {als bijektive Abbildung
\maabb {} {[0, \pi]} { [-1,1]
} {}} {} {}
bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \angle (v,w)
}
{ \defeq} { \arccos { \frac{ \left\langle v , w \right\rangle }{ \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {0} {und} {\pi} {.}
Die obige Gleichung kann man auch als
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , w \right\rangle
}
{ =} { \Vert {v} \Vert \cdot \Vert {w} \Vert \cdot \cos \left( \angle (v,w) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
schreiben, was die Möglichkeit eröffnet, das Skalarprodukt in dieser Weise zu definieren. Allerdings muss man dann für den Winkel eine unabhängige Definition finden. Dieser Zugang ist etwas intuitiver, hat aber rechnerisch und beweistechnisch viele Nachteile.
}
Bei einem affinen Raum $E$ über einem euklidischen Vektorraum $V$ und bei gegebenen drei Punkten
\mathl{P,Q,R \in E}{}
\zusatzklammer {einem \stichwort {Dreieck} {}} {} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q,R
}
{ \neq }{P
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
versteht man unter dem \stichwort {Winkel} {}
\mathl{\angle (Q,P,R)}{} des Dreiecks an $P$ den Winkel
\mathl{\angle ( \overrightarrow{ P Q } , \overrightarrow{ P R } )}{.}
\zwischenueberschrift{Ebene Isometrien}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Orthogonal transformation qtl1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Orthogonal transformation qtl1.svg } {} {Quartl} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Euklidische Ebene/Eigentliche Isometrie/Drehung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2 } {\R^2
} {}
eine
\definitionsverweis {eigentliche, lineare Isometrie}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ eine Drehung,}
\faktzusatz {und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D(\theta)
}
{ =} { \begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, \theta & - \operatorname{sin} \, \theta \\
\operatorname{sin} \, \theta & \operatorname{cos} \,\theta
\end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem eindeutig bestimmten Drehwinkel
\mathl{\theta \in [0, 2 \pi[}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es seien
\mathkor {} {(x,y)} {und} {(u,v)} {}
die Bilder der Standardvektoren
\mathkor {} {(1,0)} {und} {(0,1)} {.}
Unter einer Isometrie wird die Länge eines Vektors erhalten, daher ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Vert {\begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} \Vert
}
{ =} {\sqrt{x^2+y^2}
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Daher ist $x$ eine reelle Zahl zwischen
\mathkor {} {-1} {und} {+1} {}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ \pm \sqrt{1-x^2}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
d.h.
\mathl{(x,y)}{} ist ein Punkt auf dem reellen Einheitskreis. Der Einheitskreis wird bekanntlich durch die trigonometrischen Funktionen parametrisiert, d.h. es gibt einen eindeutig bestimmten Winkel
\mathbed {\theta} {}
{0 \leq \theta < 2 \pi} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x,y)
}
{ =} { ( \operatorname{cos} \, \theta, \operatorname{sin} \, \theta)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da unter einer Isometrie die Senkrechtsbeziehung erhalten bleibt, muss
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\left\langle \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} u \\v \end{pmatrix} \right\rangle
}
{ =} { xu + yv
}
{ =} { 0
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
gelten.
\fallunterscheidungzwei {Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt daraus
\zusatzklammer {wegen
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{ \pm 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und wegen der Eigentlichkeit muss das Vorzeichen dasselbe wie von $x$ sein.}
{Es sei also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} -v \\u \end{pmatrix}
}
{ =} { \frac{u}{y} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Da die beiden Vektoren die Länge $1$ haben, muss der skalare Faktor
\mathl{u/y}{} den Betrag $1$ haben. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{u
}
{ = }{y
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wäre
\mathl{v=-x}{} und die Determinante wäre $-1$. Also muss \mathkon { u=-y } { und } { v=x }{ } sein, was die Behauptung ergibt.}
Die Hintereinanderschaltung von zwei Drehungen
\mathkor {} {\begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, \alpha & - \operatorname{sin} \, \alpha \\
\operatorname{sin} \, \alpha & \operatorname{cos} \,\alpha
\end{pmatrix}} {und} {\begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, \beta & - \operatorname{sin} \, \beta \\
\operatorname{sin} \, \beta & \operatorname{cos} \,\beta
\end{pmatrix}} {}
ist
\mathl{\begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, (\alpha + \beta) & - \operatorname{sin} \, (\alpha + \beta) \\
\operatorname{sin} \, (\alpha + \beta) & \operatorname{cos} \,(\alpha + \beta)
\end{pmatrix}}{.} Diese Eigenschaft ist einleuchtend, wenn man die intuitive Vorstellung, die sich mit einer Drehung verbindet, verwendet. Unter Verwendung der
Additionstheoreme
für die trigonometrischen Funktionen kann man sie beweisen. Umgekehrt folgen die Additionstheoreme aus dieser Eigenschaft, siehe
Aufgabe 34.11.
Aus dieser Eigenschaft folgt auch, dass die Gruppe der ebenen Drehungen kommutativ ist.
\inputfaktbeweis
{Euklidische Ebene/Uneigentliche Isometrie/Achsenspiegelung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2 } {\R^2
} {}
eine
\definitionsverweis {uneigentliche}{}{}
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ eine Achsenspiegelung}
\faktzusatz {und ihre Matrix hat bezüglich der Standardbasis die Gestalt
\mathdisp {\begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & - \cos \alpha \end{pmatrix}} { . }
mit einem eindeutig bestimmten Winkel
\mathl{\alpha \in [0, 2 \pi[}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten
\mathdisp {\varphi \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}} { , }
was
nach dem Determinantenmultiplikationssatz
eine
\definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{}
ist. Nach
Satz 34.4
gibt es somit einen eindeutig bestimmten Winkel
\mathl{\alpha \in [0,\pi[}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, \alpha & - \operatorname{sin} \, \alpha \\
\operatorname{sin} \, \alpha & \operatorname{cos} \,\alpha
\end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { \begin{pmatrix}
\operatorname{cos} \, \alpha & - \operatorname{sin} \, \alpha \\
\operatorname{sin} \, \alpha & \operatorname{cos} \,\alpha
\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ \sin \alpha & -\cos \alpha \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei einer solchen Achsenspiegelung ist
\mathl{\begin{pmatrix} - \sin \alpha \\ \cos \alpha-1 \end{pmatrix}}{} ein Eigenvektor zum Eigenwert $1$, die Spiegelungsachse ist also
\mathl{\R \begin{pmatrix} - \sin \alpha \\ \cos \alpha-1 \end{pmatrix}}{,} siehe
Aufgabe 34.15.
Eine Achsenspiegelung wird bezüglich der Basis, die aus einen Vektor $\neq 0$ der Spiegelungsachse und einem dazu senkrechten Vektor $\neq 0$ besteht, durch
\mathl{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}}{} beschrieben. Die in
Satz 34.5
gegebene Beschreibung bezüglich der Standardbasis lässt sich also wesentlich verbessern.
\zwischenueberschrift{Räumliche Isometrien}
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Vektorraum/R^3/Isometrie/Eigenvektor/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Isometrie}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
\mathkor {} {1} {oder} {-1} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
$P$ zu $\varphi$ ist ein normiertes Polynom vom Grad drei. Für
\mathl{t \to + \infty}{} geht
\mathl{P(t) \to + \infty}{} und für
\mathl{t \to -\infty}{} geht
\mathl{P(t) \to - \infty}{.} Nach
dem Zwischenwertsatz
besitzt daher $P$ mindestens eine Nullstelle. Eine solche Nullstelle ist ein
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
von $\varphi$. Nach
Satz 33.10
ist der Eigenwert gleich $1$ oder gleich $-1$.
Eine eigentliche lineare Isometrie des Raumes führt insbesondere die Einheitskugel durch eine Bewegung in sich über. Man kann sich eine solche Isometrie also gut als eine Drehung an einer Kugel vorstellen, die in einer passenden Schale liegt.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine
\definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}}
\faktfolgerung {besitzt einen
\definitionsverweis {Eigenvektor}{}{}
zum
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$1$,}
\faktzusatz {d.h. es gibt eine Gerade
\zusatzklammer {durch den Nullpunkt} {} {,}
die unter $\varphi$ fest bleibt.}
\faktzusatz {}
}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {charakteristische Polynom}{}{}
von $\varphi$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P(\lambda)
}
{ =} { \det \left( \lambda E_3 - \varphi \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ist ein normiertes reelles Polynom vom Grad drei. Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ergibt sich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P(0)
}
{ =} { \det \left( - \varphi \right)
}
{ =} { - \det \left( \varphi \right)
}
{ =} {-1
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Da für
\mathl{\lambda \to \infty}{} das Polynom
\mathl{P(\lambda) \to \infty}{} geht, muss es für ein positives $\lambda$ eine Nullstelle geben. Aufgrund von
Satz 33.10
kommt dafür nur
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\lambda
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in Frage.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Vektorraum/R^3/Eigentliche Isometrie/Darstellung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^3
} {}
eine
\definitionsverweis {eigentliche Isometrie}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\varphi$ eine Drehung um eine feste Achse.}
\faktzusatz {Das bedeutet, dass $\varphi$ in einer geeigneten Orthonormalbasis durch eine Matrix der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \operatorname{cos} \, \alpha & - \operatorname{sin} \, \alpha \\
0 &\operatorname{sin} \, \alpha & \operatorname{cos} \,\alpha
\end{pmatrix}} { }
beschrieben wird.}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Satz 34.7
gibt es einen Eigenvektor $u$ zum Eigenwert $1$. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{\R u
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die davon erzeugte Gerade. Diese ist fix und insbesondere invariant unter $\varphi$. Nach
Lemma 34.3
ist dann auch das orthogonale Komplement $U^{ \perp }$ invariant unter $\varphi$, d.h. es gibt eine lineare Isometrie
\maabbdisp {\varphi_2} { U^{ \perp } } { U^{ \perp }
} {,}
die auf $U^{ \perp }$ mit $\varphi$ übereinstimmt. Dabei muss $\varphi_2$ eigentlich sein, und daher muss nach
Satz 34.4
$\varphi_2$ eine Drehung sein. Wählt man einen Vektor der Länge eins aus $U$ und dazu eine Orthonormalbasis von $U^{ \perp }$, so hat $\varphi$ bezüglich dieser Basis die angegebene Gestalt.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Football theorem qtl1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Football theorem qtl1.svg } {} {Quartl} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputfaktbeweis
{Lineare Isometrie/Raum/Fixpunkte auf Fußball/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Zu Beginn eines Fußballspiels liegt der Fußball auf dem Anstoßpunkt. Wenn ein Tor erzielt wird, so wird der Ball wieder auf den Anstoßpunkt zurückgesetzt.}
\faktuebergang {In dieser Situation gilt:}
\faktfolgerung {Es gibt mindestens zwei
\zusatzklammer {gegenüber liegende} {} {} Punkte auf dem Fußball
\zusatzklammer {seiner Oberfläche} {} {,} die beim Neuanstoß genau dort liegen, wo sie am Spielanstoß lagen. Die Gesamtbewegung des Balles lässt sich durch eine Achsendrehung realisieren.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Gesamtbewegung ist eine lineare Isometrie, daher folgt die Aussage aus Satz 34.8.
\zwischenueberschrift{Der Zerlegungssatz für Isometrien}
\inputfaktbeweis
{Endomorphismus/Reell/Zweidimensional invariant/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {reeller}{}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {Endomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt $V$ einen
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianten}{}{} \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Dimension
\mathkor {} {1} {oder} {2} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir können
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {\R^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
annehmen und dass $\varphi$ durch die Matrix $M$ bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Wenn $\varphi$ einen Eigenwert besitzt, so sind wir fertig. Andernfalls betrachten wir die entsprechende komplexe Abbildung, also
\maabbdisp {\varphi} {{\mathbb C}^n} { {\mathbb C}^n
} {,}
die durch die gleiche Matrix $M$ gegeben ist. Diese besitzt einen komplexen Eigenwert
\mathl{a+b { \mathrm i}}{} und einen komplexen Eigenvektor $v \in {\mathbb C}^n$. Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Mv
}
{ =} { (a+b { \mathrm i}) v
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} {v_1 + { \mathrm i} v_2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mathl{v_1,v_2 \in \R^n}{} bedeutet dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M v_1 + { \mathrm i} M v_2
}
{ =} {Mv
}
{ =} { (a+b{ \mathrm i}) { \left( v_1 + { \mathrm i} v_2 \right) }
}
{ =} { av_1-bv_2 + { \mathrm i} (av_2 +bv_1)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Vergleich von Real- und Imaginärteil zeigt, dass
\mathl{Mv_1, Mv_2 \in \langle v_1,v_2 \rangle}{} sind, so dass der Untervektorraum
\mathl{\langle v_1,v_2 \rangle}{} invariant ist.
\inputfaktbeweis
{Euklidischer Raum/Isometrie/Struktursatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {Isometrie}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {euklidischen Vektorraum}{}{}
$V$.}
\faktfolgerung {Dann ist $V$ eine
\definitionsverweis {orthogonale direkte Summe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} { G_1 \oplus \cdots \oplus G_p \oplus H_1 \oplus \cdots \oplus H_q \oplus E_1 \oplus \cdots \oplus E_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
von
$\varphi$-\definitionsverweis {invarianten}{}{} \definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{,}
wobei die $G_i,H_j$ eindimensional und die $E_k$ zweidimensional sind. Die Einschränkung von $\varphi$ auf den $G_i$ ist die Identität, auf $H_j$ die negative Identität und auf $E_k$ eine Drehung ohne Eigenwerte.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir führen Induktion über die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $V$, die mit $n$ bezeichnet sei. Der eindimensionale Fall ist wegen
Satz 33.10
klar. Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die Determinante kann wegen
Lemma 33.13
nur die Werte
\mathkor {} {1} {und} {-1} {}
annehmen. Bei
\mathl{-1}{} besitzt das charakteristische Polynom zwei Nullstellen, und diese müssen nach
Satz 33.10
\mathkor {} {1} {und} {-1} {}
sein. Es liegt dann also eine Achsenspiegelung vor und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {G \oplus H
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wenn die Determinante $1$ ist, so sind wir in der Situation von
Satz 34.4
und es liegt eine Drehung vor. Wenn der Drehwinkel $0$ ist, so liegt die Identität vor und man kann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{G_1 \oplus G_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zerlegen, und wenn der Drehwinkel $\pi$ ist, so liegt die Punktspiegelung
\mathl{-
\operatorname{Id}}{} vor und man kann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{V
}
{ = }{H_1 \oplus H_2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zerlegen. Bei den anderen Winkeln gibt es keine Eigenvektoren.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
beliebig und die Aussage für kleinere Dimensionen schon bewiesen. Nach
Lemma 34.10
gibt es einen $\varphi$-invarianten Untervektorraum $U$ der Dimension
\mathkor {} {1} {oder} {2} {}
und nach
Lemma 34.3
gibt es dazu ein invariantes
\definitionsverweis {orthogonales Komplement}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V
}
{ =} {U \oplus W
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Induktionsvoraussetzung angewendet auf $W$ liefert das Resultat.
In dieser Zerlegung ist
\mathl{G_1 \oplus \cdots \oplus G_p}{} der Eigenraum zum Eigenwert $1$ und
\mathl{H_1 \oplus \cdots \oplus H_q}{} der Eigenraum zum Eigenwert $-1$, wobei die jeweiligen Zerlegungen nicht eindeutig sind. Die Isometrie ist genau dann eigentlich, wenn $q$ gerade ist.