Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil II/Vorlesung 56/latex

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\setcounter{section}{56}






\zwischenueberschrift{Basiswechsel bei Tensorprodukten}





\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Tensorprodukt/Basen/Übergangsmatrix/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es seien
\mathl{v_{1j}, j \in J_1 , \ldots , v_{nj}, j \in J_n}{,} und
\mathl{w_{1j}, j \in J_1 , \ldots , w_{n j}, j \in J_n}{,} \definitionsverweis {Basen}{}{} von $V_1 , \ldots , V_n$ mit den \definitionsverweis {Basiswechselmatrizen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{B_i }
{ =} { M^{ \mathfrak{ v }_i }_{ \mathfrak{ w }_i } }
{ =} { { \left( a_{irs} \right) }_{1 \leq r,s \leq \operatorname{dim}_{ } { \left( V_i \right) } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Basiswechselmatrix \zusatzklammer {mit \mathlk{J= J_1 \times \cdots \times J_n}{}} {} {} zwischen den Basen
\mathdisp {v_{1 j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{n j_n} , \, (j_1 , \ldots , j_n) \in J \text{ und } w_{1 j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } w_{n j_n} , \, (j_1 , \ldots , j_n) \in J} { }
des Tensorproduktes durch die
\mathl{J \times J}{-}Matrix mit den Einträgen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{c_{ (j_1 , \ldots , j_n) , ( k_1 , \ldots , k_n) } }
{ =} { a_{1 j_1 k_1} \cdots a_{n j_n k_n} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} beschrieben.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Nach der Definition 9.2 der Basiswechselmatrix ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v_{i s} }
{ =} { \sum_{r \in J_i } a_{i rs} w_{i r} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Somit ist unter Verwendung von Lemma 55.9  (3)
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ v_{1 k_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{n k_n} }
{ =} { { \left( \sum_{j_1 \in J_1 } a_{1 j_1 k_1 } w_{1 j_1} \right) } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } { \left( \sum_{ j_n \in J_n } a_{n j_n k_n} w_{n j_n} \right) } }
{ =} { \sum_{ (j_1 , \ldots , j_n ) \in J } a_{1 j_1 k_1 } \cdots a_{n j_n k_n} w_{1 j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } w_{n j_n} }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} und diese Koeffizienten bilden die Basiswechselmatrix.

}





\inputbeispiel{}
{

Wir betrachten den $\R^2$ mit den Basen
\mathl{\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 5 \\6 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3 \\8 \end{pmatrix}}{} und der Standardbasis $\mathfrak{ w }$ und ${\mathbb C}$ als reellen Vektorraum mit den Basen
\mathl{\mathfrak{ x } =3-2 { \mathrm i} , 4+5{ \mathrm i}}{} und
\mathl{\mathfrak{ y } =1,{ \mathrm i}}{.} Damit sind die Basiswechselmatrizen, wie sie in Lemma 56.1 auftreten, gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_1 }
{ =} { \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ B_2 }
{ =} { \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -2 & 5 \end{pmatrix} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir folgen der Anordnung
\mathl{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}{} und erhalten die Basiswechselmatrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 15 & 20 & -9 & -12 \\ -10 & 25 & 6 & -15 \\ 18 & 24 & 24 & 32 \\ -12 & 30 & -16 & 40 \end{pmatrix}} { . }
In der zweiten Spalte steht beispielsweise, wie man
\mathl{v_1 \otimes x_2}{} als Linearkombination der
\mathl{w_1 \otimes y_1 , \, w_1 \otimes y_2 , \,w_2 \otimes y_1 , \, w_2 \otimes y_2}{} ausdrückt.


}






\zwischenueberschrift{Tensorprodukt und Dualraum}





\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Tensorprodukt/Dualraum/Beziehung/Fakt}
{Satz}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine natürliche \definitionsverweis {Isomorphie}{}{} \maabbeledisp {} { { V_1 }^{ * } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } { V_n }^{ * } } { { { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n \right) } }^{ * } } {f_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } f_n} { { \left( v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n \mapsto f_1(v_1) \cdots f_n(v_n) \right) } } {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Für fixierte Linearformen
\mathl{f_1 \in { V_1 }^{ * } , \ldots , f_n \in { V_n }^{ * }}{} ist die Abbildung \maabbeledisp {} {V_1 \times \cdots \times V_n } {K } {(v_1 , \ldots , v_n)} { f_1(v_1) \cdots f_n(v_n) } {,} nach Aufgabe 16.37 \definitionsverweis {multilinear}{}{} und definiert daher eine Linearform auf
\mathl{V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n}{.} Dies ergibt die Abbildung \maabbeledisp {\Psi} { \! { V_1 }^{ * } \times \cdots \times { V_n }^{ * } } { \! { { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n \right) } }^{ * } } { (f_1 , \ldots , f_n) } { { \left( (v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n) \mapsto f_1(v_1) \cdots f_n(v_n) \right) } } {.} Diese Gesamtzuordnung $\Psi$ ist ebenfalls multilinear und ergibt somit eine lineare Abbildung \maabbdisp {} { { V_1 }^{ * } \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } { V_n }^{ * } } { { { \left( V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n \right) } }^{ * } } {} Nach Korollar 55.13 und Korollar 13.12 haben die Räume die gleiche Dimension. Es seien
\mathbed {v_{ij}} {}
{1 \leq j \leq \operatorname{dim}_{ } { \left( V_i \right) }} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {Basen}{}{} der $V_i$. Dann bilden die
\mathl{v_{1j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{nj_n}}{} nach Satz 55.12  (3) eine Basis von
\mathl{V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n}{} und die Dualbasis dazu eine Basis des Dualraumes. Wir behaupten die Gleichheit der linearen Abbildungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \Psi ( v_{1j_1}^* \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{nj_n}^* ) }
{ =} { { \left( v_{1j_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{nj_n} \right) }^* }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Diese ergibt sich, da beide Abbildungen, angewendet auf die Basiselemente
\mathl{v_{1 k_1} \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_{n k_n}}{,} bei
\mathl{(k_1 , \ldots , k_n)=(j_1 , \ldots , j_n)}{} den Wert $1$ und andernfalls den Wert $0$ ergeben. Daher ist $\Psi$ surjektiv und damit auch injektiv.

}


\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Tensorprodukt/Multiplikative Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{U,V,W}{} seien $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen \zusatzklammer {im Sinne einer kanonischen Isomorphie} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Es ist


\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ K } V }
{ \cong} {V \otimes_{ K } U }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} } {Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ K } { \left( V \otimes_{ K } W \right) } }
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ K } V \right) } \otimes_{ K } W }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 56.2. }







\zwischenueberschrift{Tensorprodukte von linearen Abbildungen}





\inputfaktbeweis
{Lineare Abbildungen/Tensorprodukt/Wohldefiniertheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n,W_1 , \ldots , W_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Es seien \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {W_i } {} $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine wohldefinierte lineare Abbildung \maabbdisp {} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {W_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } W_n } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi (v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n) }
{ \defeq} { \varphi_1(v_1) \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n( v_n) }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Gesamtabbildung
\mathdisp {V_1 \times \cdots \times V_n \stackrel{\varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n }{ \longrightarrow } W_1 \times \cdots \times W_n \stackrel{\pi }{ \longrightarrow } W_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } W_n} { }
ist nach Aufgabe 16.29 \definitionsverweis {multilinear}{}{.} Dies induziert nach Lemma 55.4 eine lineare Abbildung \maabbeledisp {} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {W_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } W_n } {v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n } { \varphi(v_1) \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi (v_n) } {.}

}





\inputdefinition
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n,W_1 , \ldots , W_n}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$. Zu $K$-\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{} \maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {W_i } {} heißt die lineare Abbildung \maabbeledisp {} {V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n } {W_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } W_n } {v_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } v_n} {\varphi_1(v_1) \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n( v_n) } {,} das \definitionswort {Tensorprodukt}{} der $\varphi_i$. Es wird mit
\mathl{\varphi_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } \varphi_n}{} bezeichnet.

}





\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Funktorialität im Vektorraum/Fakt}
{Proposition}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und seien
\mathl{U,V,Z}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{} über $K$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Zu einer $K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {U} {V } {} gibt es eine natürliche $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabb {\varphi \otimes_{ K } \operatorname{Id}_{ Z }} {U \otimes_{ K } Z} {V \otimes_{ K } Z } {.} }{Wenn $\varphi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist, ist auch
\mathl{\varphi \otimes_{ K } \operatorname{Id}_{ Z }}{} surjektiv. }{Wenn $\varphi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, so ist auch
\mathl{\varphi \otimes_{ K } \operatorname{Id}_{ Z }}{} injektiv. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

(1). Dies ist ein Spezialfall von Lemma 56.5.

(2). Die Surjektivität der Abbildung \maabbdisp {} {U \otimes_{ K } Z } {V \otimes_{ K } Z } {} ist klar, da die
\mathl{v \otimes z}{} ein $K$-\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von
\mathl{V \otimes_{ K } Z}{} bilden und diese im Bild der Abbildung liegen.

(3). Wegen der Injektivität können wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U }
{ \subseteq} {V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als Untervektorraum auffasen. Eine Basis
\mathbed {u_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} von $U$ können wir zu einer Basis
\mathbed {u_i} {}
{i \in J} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I }
{ \subseteq }{J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} von $V$ ergänzen. Sei
\mathbed {z_\ell} {}
{\ell \in L} {}
{} {} {} {,} eine Basis von $Z$. Dann ist nach Satz 55.12 die Familie
\mathbed {v_j \otimes z_\ell} {}
{(j, \ell) \in J \times L} {}
{} {} {} {,} eine Basis von
\mathl{V \otimes Z}{} und
\mathbed {v_i \otimes z_\ell} {}
{(i, \ell) \in I \times L} {}
{} {} {} {,} ist eine Teilmenge davon, die eine Basis von
\mathl{U \otimes Z}{} ist. Also wird unter \maabbdisp {} {U \otimes Z } {V \otimes Z } {} eine Basis auf linear unabhängige Elemente abgebildet und somit ist diese Abbildung injektiv.

}

Von daher werden wir zu Untervektorräumen
\mathl{U_1 \subseteq V_1 , \ldots , U_n \subseteq V_n}{} das Tensorprodukt
\mathl{U_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } U_n}{} als Untervektorraum von
\mathl{V_1 \otimes_{ } \cdots \otimes_{ } V_n}{} auffassen.


\inputfaktbeweis
{Tensorprodukt/Direkte Summe/Fakt}
{Korollar}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathl{U,V,W}{} seien $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U \otimes_{ K } { \left( V \oplus W \right) } }
{ \cong} { { \left( U \otimes_{ K } V \right) } \oplus { \left( U \otimes_{ K } W \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 56.5. }







\zwischenueberschrift{Körperwechsel}

Schon häufig haben wir ein reelles Problem dadurch vereinfacht, dass wir es als Problem über den komplexen Zahlen aufgefasst haben. Wenn die Situation mit einer reellen Matrix formuliert werden kann, so kann man diese direkt als eine komplexe Matrix auffassen und dafür die \zusatzklammer {nichtreellen} {} {} komplexen Eigenwerte berechnen und ähnliches. Matrizen sind im Allgemeinen von der Wahl von Basen abhängige Beschreibungen mathematischer Objekte. Mit dem Tensorprodukt kann man den Übergang zum Komplexen auf der Ebene der Objekte selbst sinnvoll beschreiben. Wir betrachten daher hier den Fall des Tensorproduktes, wenn über $K$ ein $K$-Vektorraum $V$ und eine Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} vorliegt. Wir fixieren die verwendeten Sprechweisen.




\inputdefinition
{}
{

Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eines \definitionsverweis {Körpers}{}{} $L$ heißt \definitionswort {Unterkörper}{} von $L$, wenn folgende Eigenschaften gelten. \aufzaehlungfuenf{Es ist
\mathl{0,1 \in K}{.} }{Mit
\mathl{a,b \in K}{} ist auch
\mathl{a+b \in K}{.} }{Mit
\mathl{a,b \in K}{} ist auch
\mathl{a \cdot b \in K}{.} }{Mit
\mathl{a \in K}{} ist auch
\mathl{-a \in K}{.} }{Mit
\mathl{a \in K, a \neq 0}{,} ist auch
\mathl{a^{-1} \in K}{.} }

}




\inputdefinition
{}
{

Sei $L$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $L$. Dann heißt $L$ ein \definitionswort {Erweiterungskörper}{} \zusatzklammer {oder \definitionswort {Oberkörper}{}} {} {} von $K$ und die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt eine \definitionswort {Körpererweiterung}{.}

}





\inputfaktbeweis
{Körpererweiterung/Ist Vektorraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K }
{ \subseteq }{L }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $L$ in natürlicher Weise ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

Die Skalarmultiplikation \maabbeledisp {} {K \times L} {L } {(\lambda, x)} { \lambda x } {,} wird einfach durch die Multiplikation in $L$ gegeben. Die \definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{} folgen dann direkt aus den \definitionsverweis {Körperaxiomen}{}{.}

}





\inputdefinition
{}
{

Zu einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ über einem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$ und einer \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mathl{K \subseteq L}{} nennt man
\mathl{L \otimes_{ K } V}{} den \definitionswort {durch Körperwechsel gewonnenen}{} $L$-Vektorraum.

} Statt
\mathl{L \otimes_{ K } V}{} schreibt man auch $V_{L}$.





\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Körperwechsel/Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{K \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Das \definitionsverweis {Tensorprodukt}{}{}
\mathl{L \otimes_{ K } V}{} ist ein $L$-Vektorraum. }{Es gibt eine kanonische $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {V} { L \otimes_{ K } V } {v} { 1 \otimes v } {.} Bei
\mathl{K=L}{} ist dies ein \definitionsverweis {Isomorphismus}{}{.} }{Zu einer $K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabb {\varphi} {V} {W } {} ist die induzierte Abbildung \maabbdisp {\operatorname{Id}_{ L } \otimes \varphi} {L \otimes_{ K } V } {L \otimes_{ K } W } {} eine $L$-lineare Abbildung. }{Zu
\mathl{V=K^n}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L \otimes_{ K } K^n }
{ \cong} { L^n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Zu einem \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{dim}_{ K } { \left( V \right) } }
{ =} { \operatorname{dim}_{ L } { \left( L \otimes_KV \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Zu einer weiteren Körpererweiterung
\mathl{L \subseteq M}{} ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \otimes_{ K } V }
{ \cong} {M \otimes_{ L } { \left( L \otimes_{ K } V \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {eine Isomorphie von \mathlk{M}{-}Vektorräumen} {} {.} }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{

\teilbeweis {}{}{}
{(1). Die Multiplikation \maabbeledisp {} {L \times L} {L } {(r,s)} {rs } {,} ist $L$-\definitionsverweis {bilinear}{}{} und insbesondere $K$-bilinear und führt nach Lemma 55.4 zu einer $K$-\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {L \otimes_{ K } L} {L } {.} Dies induziert nach Lemma 56.4  (2) und nach Proposition 56.7 eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} { L \otimes_{ K } { \left( L \otimes_{ K } V \right) } \cong { \left( L \otimes_{ K } L \right) } \otimes_{ K } V } { L \otimes_{ K } V } {.} Dies ergibt eine wohldefinierte Skalarmultiplikation \maabbdisp {} {L \times { \left(L \otimes_{ K } V \right) } } { { \left( L \otimes_{ K } V \right) } } {,} die explizit durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n r_j \otimes m_j \right) } }
{ =} { \sum_{j = 1}^n { \left( sr_j \right) } \otimes m_j }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gegeben ist. Aus dieser Beschreibung folgen direkt die Eigenschaften einer Ska\-larmultiplikation.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(2). Die $K$-Homomorphie folgt direkt aus der Bilinearität des Tensorprodukts. Bei
\mathl{L=K}{} ist die Abbildung surjektiv. Die Skalarmultiplikation \maabb {} {K \times V} {V } {} induziert eine $K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {} {K \otimes_{ K } V} { V } {.} Die Verknüpfung der kanonischen Abbildung \maabb {} {V} {K \otimes_{ K } V } {} mit dieser Abbildung ist die Identität auf $V$, so dass die erste Abbildung auch injektiv ist.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(3) folgt aus der expliziten Beschreibung in (1).}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(4) folgt aus Korollar 56.8.}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(5) folgt aus (4).}
{} \teilbeweis {}{}{}
{(6). Nach Teil (2) haben wir einerseits eine $K$-lineare Abbildung \maabb {} { V} { L \otimes_{ K } V } {.} Dies führt zu einer $K$-multilinearen Abbildung
\mathdisp {M \times V \longrightarrow M \times { \left( L \otimes_{ K } V \right) } \longrightarrow M \otimes_{ L } { \left( L \otimes_{ K } V\right) }} { , }
die eine $K$-lineare Abbildung \maabbdisp {} {M \otimes_{ K } V } { M \otimes_{ L } { \left( L \otimes_{ K } V \right) } } {} induziert. Andererseits haben wir eine $L$-lineare Abbildung \maabbdisp {} {L \otimes_{ K } V } { M \otimes_{ K } V } {.} Rechts steht ein $M$-Vektorraum, daher kann man die Skalarmultiplikation als eine $L$-multilineare Abbildung \maabbdisp {} {M \times { \left( L \otimes_{ K }V \right) } } { L \otimes_{ K } V } {} auffassen, die ihrerseits zu einer $L$-linearen Abbildung \maabbdisp {} {M \otimes_{ L } { \left( L \otimes_{ K } V \right) } } { L \otimes_{ K } V } {} führt. Diese beiden Abbildungen sind invers zueinander, was man auf den zerlegbaren Tensoren überprüfen kann. Daran sieht man auch, dass sich die $M$-Multiplikationen entsprechen.}
{}

}


\inputfaktbeweis
{Vektorraum/Körperwechsel/Erzeugendensystem/Basis/Fakt}
{Lemma}
{}
{

\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} und
\mathl{K \subseteq L}{} eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.} Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren aus $V$.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist genau dann ein $K$-\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$, wenn
\mathbed {1 \otimes v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ein $L$-Erzeugendensystem von
\mathl{L \otimes V}{} ist. }{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist genau dann $K$-\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} in $V$, wenn
\mathbed {1 \otimes v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} linear unabhängig \zusatzklammer {über $L$} {} {} in
\mathl{L \otimes V}{} ist. }{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ist genau dann ein $K$-\definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$, wenn
\mathbed {1 \otimes v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} ein $L$-Basis von
\mathl{L \otimes V}{} ist. }}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}

}
{ Siehe Aufgabe 56.15. }




\inputbeispiel{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{.} Die \definitionsverweis {Tensorierung}{}{} mit der $\R$-\definitionsverweis {Algebra}{}{} ${\mathbb C}$, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{V_{\mathbb C} }
{ \defeq} { {\mathbb C} \otimes_{ \R } V }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{,} nennt man die \stichwort {Komplexifizierung} {} von $V$. Wenn $V$ die \definitionsverweis {Dimension}{}{} $n$ besitzt, so besitzt $V_{\mathbb C}$ als komplexer Vektorraum ebenfalls die Dimension $n$. Wenn man $V_{\mathbb C}$ als reellen Vektorraum betrachtet, so besitzt er die \definitionsverweis {reelle}{}{} Dimension $2n$.


}


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