Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 17

Die Pausenaufgabe

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine invertierbare ${}n\times n$- Matrix. Zeige

${}\det {\left(M^{-1}\right)}={\left(\det M\right)}^{-1}\,.$

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times k$-Matrix, wobei die Spalten von ${}B$ linear abhängig seien. Zeige, dass die Spalten von ${}A\circ B$ ebenfalls linear abhängig sind.

Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}5&7\\2&-4\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}-3&1\\6&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}1&4&0\\2&0&5\\0&2&-1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}1&2&7\\0&3&6\\0&-2&-3\end{pmatrix}}.$

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zu ${}a\in K$ heißt die lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,$

die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor ${}a$.

Aufgabe

Was ist die Determinante einer Streckung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$?

Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für zwei Streckungen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum.

Die beiden folgenden Aufgaben verwenden den Begriff des Gruppenhomomorphismus.

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Determinante

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow (K\setminus \{0\},\cdot ,1),\,M\longmapsto \det M,$

ein surjektiver Gruppenhomomorphismus ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n,m\in \mathbb {N} _{+}$ mit ${}n\leq m$. Definiere injektive Gruppenhomomorphismen

$\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}\longrightarrow \operatorname {GL} _{m}\!{\left(K\right)}.$

Aufgabe

Betrachte die Matrix

${\begin{pmatrix}3&4\\1&2\end{pmatrix}}.$

Zeige, dass diese Matrix einen Gruppenhomomorphismus von ${}\mathbb {Q} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Q} ^{2}$ und ebenso von ${}\mathbb {Z} ^{2}$ nach ${}\mathbb {Z} ^{2}$ definiert. Untersuche diese beiden Gruppenhomomorphismen in Hinblick auf Injektivität und Surjektivität.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix mit Einträgen aus ${}\mathbb {Z}$ und

$\varphi _{M}\colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} ^{n}$

der zugehörige Gruppenhomomorphismus. Zeige, dass ${}\varphi _{M}$ genau dann bijektiv ist, wenn die Determinante von ${}M$ gleich ${}1$ oder gleich ${}-1$ ist.

Aufgabe

Zeige, dass man die Determinante nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.

Aufgabe

Man berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}0&2&7\\1&4&5\\6&0&3\end{pmatrix}},$

indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$- Vektorraum und seien ${}\varphi ,\psi \colon V\rightarrow V$ lineare Abbildungen. Zeige ${}\det \left(\varphi \circ \psi \right)=\det \varphi \det \psi$.

Aufgabe *

Löse das lineare Gleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}6&4\\5&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\3\end{pmatrix}}\,$

mit Hilfe der Cramerschen Regel.

Aufgabe

Betrachte die Matrix

${}A={\begin{pmatrix}1&0&2\\2&1&3\\1&0&1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} _{3}(\mathbb {R} )\,.$

Löse das lineare Gleichungssystem ${}Ax=(1,0,2)^{t}$ mit Hilfe der Cramerschen Regel (man überlege sich natürlich vorher, ob man diese Regel überhaupt anwenden darf).

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (12 (3+1+1+1+2+2+2) Punkte)

Die Sarrusminante einer ${}n\times n$- Matrix berechnet sich, indem man die ersten ${}n-1$ Spalten der Matrix in der gleichen Reihenfolge an die Matrix anfügt und dann die ${}n$ Produkte der Hauptdiagonalen aufaddiert und die ${}n$ Produkte der Nebendiagonalen davon subtrahiert. Wir beschränken uns auf den Fall ${}n=4$. Für eine Matrix

${}M={\begin{pmatrix}a&b&c&d\\e&f&g&h\\l&m&n&p\\q&r&s&t\end{pmatrix}}\,$

betrachtet man also

${\begin{pmatrix}a&b&c&d&a&b&c\\e&f&g&h&e&f&g\\l&m&n&p&l&m&n\\q&r&s&t&q&r&s\end{pmatrix}}$

und die Sarrusminante ist

${}\operatorname {sar} _{}^{}{\left(M\right)}=afnt+bgpq+chlr+dems-qmgd-rnha-speb-tlfc\,.$

1. Zeige, dass die Abbildung

   $\Psi \colon \operatorname {Mat} _{4}(K)\longrightarrow K,\,M\longmapsto \operatorname {sar} _{}^{}{\left(M\right)},$

   multilinear (in den Zeilen der Matrix) ist.

2. Zeige, dass für ${}4\times 4$-Matrizen, die eine Nullzeile enthalten, die Sarrusminante ${}0$ ist.
3. Zeige, dass für ${}4\times 4$-Matrizen, die eine Nullspalte enthalten, die Sarrusminante ${}0$ ist.
4. Zeige, dass für eine obere Dreiecksmatrix die Sarrusminante das Produkt der Diagonalelemente ist.
5. Zeige, dass die Sarrusminante nicht alternierend ist.
6. Man gebe ein Beispiel für eine invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich ${}0$ ist.
7. Man gebe ein Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix, deren Sarrusminante gleich ${}1$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}3&4&7\\2&0&-1\\1&3&4\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}-2&1&0\\2&3&5\\2&0&-3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Löse mit der Cramerschen Regel das inhomogene lineare Gleichungssystem (über ${}\mathbb {Q}$)

${\begin{matrix}2x+4y+3z&=&3\\x+5y+7z&=&3\\3x+5y+2z&=&4\,.\end{matrix}}$

Aufgabe (8 Punkte)

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen ${}{\mathbb {C} }$ und sei

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

eine ${}{\mathbb {C} }$- lineare Abbildung. Wir betrachten ${}V$ auch als reellen Vektorraum der doppelten Dimension, worauf ${}\varphi$ auch eine reell-lineare Abbildung ist, die wir zur Unterscheidung mit ${}\psi$ bezeichnen. Zeige, dass zwischen der komplexen Determinante und der reellen Determinante die Beziehung

${}\vert {\det \varphi }\vert ^{2}=\det \psi \,$

besteht.