Kurs:Maß- und Integrationstheorie/1/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	${}\sum$
Punkte	3	3	6	3	4	3	8	1	4	6	11	4	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Ein topologischer Raum ${}X$ mit einer abzählbaren Basis.
2. Eine ${}\sigma$-Algebra auf einer Menge ${}M$.
3. Eine Schrumpfung für eine Teilmenge ${}T\subseteq M$.
4. Die Rotationsmenge (um die ${}x$-Achse) zu einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\geq 0}$.
5. Eine ${}p$-integrierbare Funktion auf einem Maßraum ${}(X,{\mathcal {A}},\mu )$ zu ${}p\geq 1$.
6. Die orthogonale Projektion auf einen vollständigen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ in einem ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ${}V$ mit Skalarprodukt.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Fortsetzung eines äußeren Maßes.
2. Der Satz über einfache Funktionen und messbare Funktion.
3. Der Satz von Arzelà-Ascoli.

Aufgabe * (6 Punkte)

Es sei ${}(X,{\mathcal {T}})$ ein topologischer Raum und sei ${}{\mathcal {A}}$ die davon erzeugte Mengenalgebra. Zeige, dass diese genau aus allen endlichen Vereinigungen

$(U_{1}\cap A_{1})\cup (U_{2}\cap A_{2})\cup \ldots \cup (U_{n}\cap A_{n})$

mit offenen Mengen ${}U_{1},\ldots ,U_{n}$ und abgeschlossenen Mengen ${}A_{1},\ldots ,A_{n}$ besteht.

Aufgabe * (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel für eine beschränkte Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$, die man als eine abzählbare disjunkte Vereinigung von rechtsseitig halboffenen Intervallen schreiben kann, aber nicht als eine endliche Vereinigung.

Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von ${}30$ cm und wird mit Öl und mit ${}25$ kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von ${}4$ cm und eine Höhe von ${}0{,}5$ cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von ${}0{,}1$ mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von ${}1$ mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren

$v=(2,3,-4){\text{ und }}w=(1,-1,7)$

im ${}\mathbb {R} ^{3}$ erzeugten Parallelogramms (in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum).

Aufgabe * (8 Punkte)

Es sei ${}\mu$ ein translationsinvariantes Maß auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$, das auf dem Einheitswürfel endlich sei. Es sei ${}U\subset \mathbb {R} ^{n}$ ein echter Untervektorraum. Zeige ${}\mu (U)=0$.

Aufgabe * (1 Punkt)

Es sei

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine numerische Funktion. Zeige

${}\vert {f}\vert =f_{+}+f_{-}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Berechne das Integral

$\int _{E}x^{3}+3xy^{2}+xyd\lambda ^{2},$

wobei ${}E$ den Einheitskreis bezeichnet.

Aufgabe * (6 Punkte)

Beweise die Transformationsformel für Maße für einen Diffeomorphismus

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

unter Verwendung geeigneter Sätze.

Aufgabe * (11 (4+7) Punkte)

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto x^{2}+y^{4}.$

a) Bestimme zu jedem Punkt ${}(r,s)\in \mathbb {R} ^{2}$ das Volumen des Körpers

${}K={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid r\leq x\leq r+1,\,s\leq y\leq s+1,\,0\leq z\leq f(x,y)\right\}}\,.$

b) Zeige, dass das (von ${}(r,s)$ abhängige) Volumen aus Teil a) in genau einem Punkt ${}(r,s)$ minimal ist (dieser Punkt muss nicht explizit angegeben werden).

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq M$ eine total beschränkte Teilmenge in einem metrischen Raum ${}M$. Zeige, dass auch der Abschluss ${}{\overline {T}}$ total beschränkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei ${}X$ ein endlicher Maßraum und sei ${}1\leq p\leq q$. Zeige ${}{\mathcal {L}}^{q}(X)\subseteq {\mathcal {L}}^{p}(X)$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$- Hilbertraum und sei ${}V'$ der stetige Dualraum von ${}V$. Zeige, dass die natürliche lineare Abbildung

$V\longrightarrow V',\,w\longmapsto {\left(v\mapsto \left\langle v,w\right\rangle \right)},$

eine isometrische Isomorphie von Hilberträumen ist.