Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 24/kontrolle

Übungsaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}m,n\in \mathbb {N}$ mit ${}m$ gerade und ${}n$ ungerade. Zeige, dass die Potenzen ${}t^{m}$ und ${}t^{n}$ in ${}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ orthogonal zueinander sind.

Aufgabe Aufgabe 24.2 ändern

Zeige, dass das ${}n$ -te Legendre-Polynom ${}P_{n}$ den Leitkoeffizienten

{\frac {(2n)\cdots (n+1)}{2^{n}(n!)}}

besitzt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das ${}n$ -te Legendre-Polynom ${}P_{n}$ bei ${}n$ gerade eine gerade Funktion und bei ${}n$ ungerade eine ungerade Funktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die Legendre-Polynome die Rekursionsbedingungen ${}P_{0}=1$ , ${}P_{1}=t$ und

{}(n+1)P_{n+1}(t)=(2n+1)tP_{n}(t)-nP_{n-1}(t)\,

für ${}n\geq 1$ erfüllen.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Fourierentwicklung der Legendre-Polynome ${}P_{0},P_{1},P_{2}$ . Überprüfe die Orthogonalitäsrelationen für die Fourierreihen.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme ein lineares Polynom ${}ax+b\neq 0$ , das im Lebesgueraum ${}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ senkrecht auf der Exponentialfunktion ${}e^{x}$ steht.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Zeige, dass das ${}n$ -te Tschebyschow-Polynom auf ${}[-1,1]$ die Identität

{}T_{n}(x)={\frac {{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}+{\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}}{2}}\,

erfüllt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen auf ${}[0,2\pi ]$ .

${}\cos x$ .
${}\cos 2x$ .
${}\cos ^{2}x$ .
${}2\cos ^{2}x-1$ .

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das ${}n$ -te Tschebyschow-Polynom ${}P_{n}$ bei ${}n$ gerade eine gerade Funktion und bei ${}n$ ungerade eine ungerade Funktion ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass das ${}n$ -te Tschebyschow-Polynom ${}T_{n}$ die Tschebyschowsche Differentialgleichung

{}(1-t^{2})y^{\prime \prime }-ty'+n^{2}y=0\,

löst.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass die von ${}\cos z$ erzeugte ${}{\mathbb {C} }$ - Unteralgebra von ${}C({\mathbb {C} },{\mathbb {C} })$ mit dem von den ${}\cos nz$ , ${}n\in \mathbb {N}$ , erzeugten Untervektorraum übereinstimmt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit

{}P(f(t))=0\,

für alle ${}t\in \mathbb {R}$ . Zeige, dass ${}f$ eine konstante Funktion ist oder dass ${}P$ das Nullpolynom ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe für die Potenzen ${}t^{0},t^{1},t^{2},t^{3}$ das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren in ${}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ durch.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Exponentialfunktion ${}e^{x}$ in ${}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ . Es sei ${}U\subseteq L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ das orthogonale Komplement der Exponentialfunktion und es sei ${}V\subseteq L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ der Raum aller Polynome vom Grad ${}\leq 3$ . Bestimme eine Basis von ${}U\cap V$ .