Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 24

Übungsaufgaben

Aufgabe

Es seien ${}m,n\in \mathbb {N}$ mit ${}m$ gerade und ${}n$ ungerade. Zeige, dass die Potenzen ${}t^{m}$ und ${}t^{n}$ in ${}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ orthogonal zueinander sind.

Aufgabe

Zeige, dass das ${}n$-te Legendre-Polynom ${}P_{n}$ den Leitkoeffizienten

${\frac {(2n)\cdots (n+1)}{2^{n}(n!)}}$

besitzt.

Aufgabe

Zeige, dass das ${}n$-te Legendre-Polynom ${}P_{n}$ bei ${}n$ gerade eine gerade Funktion und bei ${}n$ ungerade eine ungerade Funktion ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Legendre-Polynome die Rekursionsbedingungen ${}P_{0}=1$, ${}P_{1}=t$ und

${}(n+1)P_{n+1}(t)=(2n+1)tP_{n}(t)-nP_{n-1}(t)\,$

für ${}n\geq 1$ erfüllen.

Aufgabe

Bestimme die Fourierentwicklung der Legendre-Polynome ${}P_{0},P_{1},P_{2}$. Überprüfe die Orthogonalitäsrelationen für die Fourierreihen.

Aufgabe *

Bestimme ein lineares Polynom ${}ax+b\neq 0$, das im Lebesgueraum ${}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ senkrecht auf der Exponentialfunktion ${}e^{x}$ steht.

Aufgabe *

Zeige, dass das ${}n$-te Tschebyschow-Polynom auf ${}[-1,1]$ die Identität

${}T_{n}(x)={\frac {{\left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}+{\left(x-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)}^{n}}{2}}\,$

erfüllt.

Aufgabe

Skizziere die Graphen der folgenden Funktionen auf ${}[0,2\pi ]$.

1. ${}\cos x$.
2. ${}\cos 2x$.
3. ${}\cos ^{2}x$.
4. ${}2\cos ^{2}x-1$.

Aufgabe

Zeige, dass das ${}n$-te Tschebyschow-Polynom ${}P_{n}$ bei ${}n$ gerade eine gerade Funktion und bei ${}n$ ungerade eine ungerade Funktion ist.

Aufgabe

Zeige, dass das ${}n$-te Tschebyschow-Polynom ${}T_{n}$ die Tschebyschowsche Differentialgleichung

${}(1-t^{2})y^{\prime \prime }-ty'+n^{2}y=0\,$

löst.

Aufgabe

Zeige, dass die von ${}\cos z$ erzeugte ${}{\mathbb {C} }$- Unteralgebra von ${}C({\mathbb {C} },{\mathbb {C} })$ mit dem von den ${}\cos nz$, ${}n\in \mathbb {N}$, erzeugten Untervektorraum übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine stetige Funktion und sei ${}P\in \mathbb {R} [X]$ ein Polynom mit

${}P(f(t))=0\,$

für alle ${}t\in \mathbb {R}$. Zeige, dass ${}f$ eine konstante Funktion ist oder dass ${}P$ das Nullpolynom ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Führe für die Potenzen ${}t^{0},t^{1},t^{2},t^{3}$ das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren in ${}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ durch.

Aufgabe (5 Punkte)

Wir betrachten die Exponentialfunktion ${}e^{x}$ in ${}L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$. Es sei ${}U\subseteq L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ das orthogonale Komplement der Exponentialfunktion und es sei ${}V\subseteq L^{2}([-1,1],\lambda ^{1})$ der Raum aller Polynome vom Grad ${}\leq 3$. Bestimme eine Basis von ${}U\cap V$.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass das ${}n$-te Tschebyschow-Polynom auf ${}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}$ die Identität

${}T_{n}{\left({\frac {z+z^{-1}}{2}}\right)}={\frac {z^{n}+z^{-n}}{2}}\,$

erfüllt.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}P\in {\mathbb {C} }[X,Y]$ ein Polynom mit

${}P(\cos t,\sin t)=0\,$

für alle ${}t\in \mathbb {R}$. Zeige

${}P=Q\cdot (X^{2}+Y^{2}-1)\,$

für ein Polynom ${}Q\in {\mathbb {C} }[X,Y]$.