Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil III/Arbeitsblatt 62/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Von welchen ebenen Figuren und räumlichen Gebilden kennen Sie den Flächeninhalt bzw. das Volumen?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {C}}$ das Mengensystem auf ${}M$, das aus allen endlichen Teilmengen von ${}M$ und deren Komplementen besteht. Zeige, dass ${}{\mathcal {C}}$ eine Mengenalgebra ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge. Zeige, dass die Potenzmenge ${}{\mathfrak {P}}\,(M)$ mit dem Durchschnitt ${}\cap$ als Multiplikation und der symmetrischen Differenz

${}A\triangle B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\,$

als Addition (mit welchen neutralen Elementen?) ein kommutativer Ring ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {R}}$ ein Mengensystem auf ${}M$. Zeige, dass ${}{\mathcal {R}}$ genau dann eine Mengenalgebra ist, wenn es ein Unterring des Potenzmengenringes ${}({\mathfrak {P}}\,(M),\triangle ,\cap )$ ist.

Aufgabe Aufgabe 62.5 ändern

Es sei ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$- Algebra auf einer Menge ${}M$. Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.

1. Es ist ${}\emptyset \in {\mathcal {A}}$.
2. Mit ${}S,T\in {\mathcal {A}}$ gehört auch ${}T\setminus S$ zu ${}{\mathcal {A}}$.
3. Für jede abzählbare Familie ${}T_{i}\in {\mathcal {A}}$, ${}i\in I$, ist auch

   ${}\bigcap _{i\in I}T_{i}\in {\mathcal {A}}\,.$

Aufgabe Aufgabe 62.6 ändern

Es sei ${}M$ eine Menge und sei ${}{\mathcal {A}}_{j}$, ${}j\in J$, eine beliebige Familie von ${}\sigma$- Algebren auf ${}M$. Zeige, dass der Durchschnitt

${}{\mathcal {A}}=\bigcap _{j\in J}{\mathcal {A}}_{j}\,$

ebenfalls eine ${}\sigma$-Algebra auf ${}M$ ist.

Aufgabe * Aufgabe 62.7 ändern

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {A}}$ ein Mengensystem auf ${}M$. Zeige, dass ${}{\mathcal {A}}$ genau dann ein durchschnittsstabiles Dynkin-System ist, wenn ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$- Algebra ist.

Aufgabe Aufgabe 62.8 ändern

Zeige, dass messbare Abbildungen zwischen Messräumen die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Die Hintereinanderschaltung von messbaren Abbildungen ist messbar.
2. Jede konstante Abbildung ist messbar.
3. Die Identität ist messbar.
4. Es seien ${}{\mathcal {A}}$ und ${}{\mathcal {B}}$ zwei ${}\sigma$- Algebren auf einer Menge ${}M$. Dann ist die Identität auf ${}M$ genau dann ${}{\mathcal {A}}-{\mathcal {B}}$-messbar, wenn ${}{\mathcal {A}}\supseteq {\mathcal {B}}$ gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}\mathbb {Z}$ mit der ganzen Potenzmenge als ${}\sigma$- Algebra versehen. Es sei ${}T\subseteq M$. Zeige, dass ${}T$ genau dann messbar ist, wenn die Indikatorfunktion

$e_{T}\colon M\longrightarrow \mathbb {Z}$

messbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und ${}{\mathcal {A}}$ das Mengensystem auf ${}M$, das aus allen abzählbaren Teilmengen von ${}M$ und deren Komplementen besteht. Zeige, dass ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$- Algebra ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge und sei ${}k$ ein Teiler von ${}n$. Zeige, dass die Menge der Teilmengen von ${}M$, deren Elementanzahl ein Vielfaches von ${}k$ ist, ein Dynkin-System bilden, das bei ${}k\neq 1,n$ keine Mengen-Algebra ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen und es sei

$F\colon M\longrightarrow N$

eine Abbildung.

a) Es sei ${}{\mathcal {A}}$ eine ${}\sigma$- Algebra auf ${}M$. Zeige, dass das Mengensystem

${\left\{T\subseteq N\mid F^{-1}(T)\in {\mathcal {A}}\right\}}$

eine ${}\sigma$-Algebra auf ${}N$ ist.

b) Es sei ${}{\mathcal {B}}$ eine ${}\sigma$- Algebra auf ${}N$. Zeige, dass das Mengensystem

${\left\{F^{-1}(T)\mid T\in {\mathcal {B}}\right\}}$

eine ${}\sigma$-Algebra auf ${}M$ ist.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und es sei ${}M=\biguplus _{i\in I}M_{i}$ eine Zerlegung von ${}M$ in abzählbar viele messbare Teilmengen. Es sei

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

eine Abbildung in einen weiteren Messraum ${}(N,{\mathcal {B}})$. Zeige, dass ${}\varphi$ genau dann messbar ist, wenn sämtliche Einschränkungen

$\varphi _{i}=\varphi {|}_{M_{i}}\colon M_{i}\longrightarrow N$

messbar sind.

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}P_{1}=(a_{1},b_{1}),\,P_{2}=(a_{2},b_{2})$ und ${}P_{3}=(a_{3},b_{3})$ drei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit ${}a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$ dar.