Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/26/Klausur mit Lösungen

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 4 1 2 5 4 3 2 4 7 3 4 4 1 6 4 1 3 64




Aufgabe (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine surjektive Abbildung
  2. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  3. Der Grad eines Polynoms , , über einem Körper .
  4. Die Stetigkeit einer Funktion

    in einem Punkt .

  5. Die Differenzierbarkeit einer Abbildung
    in einem Punkt .
  6. Die Determinante eines Endomorphismus

    auf einem endlichdimensionalen Vektorraum .


Lösung

  1. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit gibt.
  2. Die Menge

    mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch

    definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen.

  3. Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .

  4. Man sagt, dass stetig im Punkt ist,wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt.
  5. Die Funktion heißt differenzierbar in , wenn der Limes

    existiert.

  6. Die Abbildung werde bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben. Dann nennt man

    die Determinante der linearen Abbildung .


Aufgabe (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die algebraische Struktur der komplexen Zahlen.
  2. Die wichtigsten Eigenschaften des natürlichen Logarithmus.
  3. Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.


Lösung

  1. Die komplexen Zahlen bilden einen Körper.
  2. Der natürliche Logarithmus

    ist eine stetige, streng wachsende Funktion, die eine Bijektion zwischen und stiftet. Dabei gilt

    für alle .
  3. Die Menge aller Lösungen eines homogenen linearen Gleichungssystems

    über einem Körper ist ein Untervektorraum des

    (mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation).


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

In einer Höhle befinden sich im Innern am Ende des Ganges vier Personen. Sie haben eine Taschenlampe bei sich und der Gang ins Freie kann nur mit der Taschenlampe begangen werden. Dabei können höchstens zwei Leute gemeinsam durch den Gang gehen. Die Personen sind unterschiedlich geschickt, die erste Person benötigt eine Stunde, die zweite Person benötigt zwei Stunden, die dritte Person benötigt vier Stunden und die vierte Person benötigt fünf Stunden, um den Gang zu durchlaufen. Wenn zwei Personen gleichzeitig gehen, entscheidet die langsamere Person über die Geschwindigkeit.

  1. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?
  2. Die Batterie für die Taschenlampe reicht für genau Stunden. Können alle vier die Höhle verlassen?


Lösung Höhle/Taschenlampe/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (1 Punkt)

Professor Knopfloch ist soeben aufgestanden und noch etwas schläfrig. Er setzt sich seine zwei Kontaklinsen in seine Augen. Beim Frühstück stellt er fest, dass in seinem linken Auge keine Kontaktlinse ist. Er ist sich sicher, dass keine Kontaktlinse verloren ging, jede Kontaklinse landete in einem seiner Augen. Ist die Abbildung, die die Zuordnung an diesem Morgen der Kontaktlinsen zu den Augen beschreibt, surjektiv, injektiv, bijektiv?


Lösung

Die einzige Möglichkeit ist, dass beide Kontaklinsen im rechten Auge gelandet sind. Somit ist die Abbildung nicht injektiv ( Elemente haben den gleichen Wert), und auch nicht surjektiv, da das linke Auge nicht getroffen wird. Insbesondere ist die Abbildung nicht bijektiv.


Aufgabe (2 Punkte)

Ein Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Ein zweiter Apfelverkäufer verkauft Äpfel für Euro. Welches Angebot ist günstiger?


Lösung

Wir bestimmen, wie viel die gleiche Menge an Äpfeln bei den beiden Verkäufern kostet. Um die beiden Angebote vergleichen zu können, berechnen wir den jeweiligen Preis für

Äpfel. Beim ersten Verkäufer muss man dafür

Euro bezahlen. Beim zweiten Verkäufer muss man dafür

Euro bezahlen. Das zweite Angebot ist also günstiger.


Aufgabe (5 (1+1+1+1+1) Punkte)

Beweise die folgenden Aussagen zu Real- und Imaginärteil von komplexen Zahlen.

  1. .
  2. .
  3. .
  4. Für ist
  5. genau dann, wenn ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn ist.


Lösung Es seien im folgendem jeweils z = a + b·i, w = c + d·i mit a,b,c,d aus den komplexen Zahlen. Dann gilt:
1. z = a + bi = Re(z) + Im(z)*i.
2. Re(z + w) = Re(a + bi + c + di) = Re((a + c) + i(b + d)) = a + c = Re(a + bi) + Re(c + di) = Re(z) + Re(w).
3. Im(z + w) = Im(a + bi + c + di) = Im((a + c) + i(b + d)) = b + d = Im(a + bi) + Im(c + di) = Im(z) + Im(w).
4. Sei r aus den reellen Zahlen, dann gilt

 Re(rz) = Re(r(a + bi)) = Re(ra + rbi) = ra = rRe(z) und
Im(rz) = Im(r(a + bi)) = Im(ra + rbi) = rb = rIm(z)

5. Seien A,B,C die drei Aussagen.

  [A => B] Es gelte z = Re(z) => z = Re(a + bi) = a, also z ist reell.
[B => C] Es sei z reell. Dann gilt Im(z) = Im(z + 0·i) = 0.
[C => A] Es sei Im(z) = 0. Dann gilt b = 0 also z = a = Re(z).


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise durch Induktion für alle die Formel


Lösung

Induktionsanfang. Für kommt links nur der Summand zu vor, und dieser ist

Rechts steht ebenfalls

Induktionsschluss. Die Aussage sei für bewiesen, wir erschließen daraus auf die Gültigkeit für . Es ist

Also gilt die Aussage für alle .


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Lösung

Wir zeigen, dass die Reihe absolut konvergiert, woraus nach Satz 9.9 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) die Konvergenz folgt. Wegen ist

Die Reihe konvergiert nach Beispiel 9.12 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)), so dass nach dem Majorantenkriterium konvergiert.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige, dass eine streng wachsende Funktion

injektiv ist.


Lösung Funktionen/R/Streng monoton wachsend/Injektiv/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 (1+3) Punkte)

  1. Skizziere die Graphen der Funktionen

    und

  2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.


Lösung

  1. Die Schnittbedingung führt auf

    bzw. auf

    Quadratisches Ergänzen führt auf

    also

    Somit ist

    die -Koordinate des einzigen Schnittpunktes (die negative Wurzel führt zu einem Punkt außerhalb des Definitionsbereiches). Der einzige Schnittpunkt ist


Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die Funktion

Finde derart, dass

gilt.


Lösung

Es ist

Der Vergleich mit führt auf das Gleichungssystem

und

der lineare Anteil bleibt zuerst unberücksichtigt. Wir lösen die erste Gleichung nach auf und erhalten

Dies eingesetzt in die zweite Gleichung ergibt

Somit muss die quadratische Gleichung

gelöst werden. Die Lösungen sind

wobei dann die andere Lösung ist ( und sind in der Fragestellung und in dem Gleichungssystem gleichberechtigt). Wir setzen

und

Daraus ergeben sich dann

und

Es ist also


Aufgabe (3 Punkte)

Man erläutere den Unterschied zwischen dem Produkt und der Hintereinanderschaltung von zwei Funktionen

anhand typischer Beispiele. Wir ordnet sich die Kettenregel in diesen Fragekomplex ein?


Lösung Funktionen/Produkt und Einsetzung/Erläuterung/Aufgabe/Lösung


Aufgabe (4 Punkte)

Beweise den Satz von Rolle.


Lösung

Wenn konstant ist, so ist die Aussage richtig. Sei also nicht konstant. Dann gibt es ein mit . Sagen wir, dass größer als dieser Wert ist. Aufgrund von Satz 11.13 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)) gibt es ein , wo die Funktion ihr Maximum annimmt, und dieser Punkt kann kein Randpunkt sein. Für dieses ist dann nach Satz 15.3 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)).


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Flächeninhalt zwischen den Graphen der Exponentialfunktion und der Kosinusfunktion auf dem Intervall . Skizziere die Situation.


Lösung

Der Kosinus verläuft im angegebenen Bereich unterhalb der Exponentialfunktion, deshalb ist der Flächeninhalt die Differenz der Flächeninhalte der beiden Funktionen in dem Bereich. Es ist

und

und damit ist der Flächeninhalt gleich .


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme die Ableitung von

auf .


Lösung

Die Ableitung von ist nach der Produktregel gleich


Aufgabe (6 Punkte)

Bestimme explizit die reellen -Matrizen der Form

mit


Lösung

Die Bedingung bedeutet

Aus

folgt oder . Bei folgt aus den Einträgen rechts oben und links unten direkt

Daraus ergibt sich aus links oben und rechts unten ebenfalls

was der Annahme widerspricht. Es muss also

sein, also

Damit sind die Bedingungen rechts oben und links unten erfüllt und die beiden anderen Bedingungen sind äquivalent und bedeuten einfach

Wenn (bzw. ) ist, so ist

und (bzw. ) beliebig. Dies führt zu den Lösungen und . Seien nun

Wenn beide positiv oder beide negativ sind, so gibt es keine Lösung für . Also müssen die Vorzeichen von und verschieden sein. In diesem Fall ist

eine Lösung.


Aufgabe (4 Punkte)

Linalg parallelogram area.png

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren und die Determinante der durch die Vektoren definierten -Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.





Lösung Zunächst wird der Flächeninhalt des äußeren Rechtecks bestimmt:



Als nächstes werden die Flächeninhalte der Flächen A bis F aufgestellt:



Die Summe dieser Flächen ist:



Der Flächeninhalt des Parallelogramms ist somit:



Zur Überprüfung des Ergebnisses berechnen wir die Determinante der durch die Vektoren und definierten -Matrix:



Man sieht schnell, dass die Determinante dem Flächeninhalt des Parallelogramms entspricht.

Das Vorzeichen der Determinante dreht sich um, wenn man die beiden Spaltenvektoren vertauscht.


Aufgabe (1 Punkt)

Bestimme, abhängig von , den Rang der Matrix


Lösung

Da eine obere Dreiecksmatrix vorliegt, ist der Rang der Matrix gleich der Anzahl der von verschiedenen Elemente in der Hauptdiagonalen. Dies ist einfach die Anzahl der , die von verschieden sind.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, ob die reelle Matrix

trigonalisierbar und ob sie diagonalisierbar ist.


Lösung

Das charakteristische Polynom der Matrix ist

Den vorderen Faktor schreiben wir als

Somit besitzt dieses Polynom die beiden Nullstellen

Daher besitzt das charakteristische Polynom drei verschiedene Nullstellen und ist somit nach [[Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Zerfällt und verschieden/Diagonalisierbar/Fakt|Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Endomorphismus/Charakteristisches Polynom/Zerfällt und verschieden/Diagonalisierbar/Fakt/Faktreferenznummer (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021))]] diagonalisierbar und erst recht trigonalisierbar.