Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/50/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	2	2	2	4	4	3	2	8	4	5	2	4	3	3	1	1	3	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten den Satz „Nachts sind alle Katzen grau“.

1. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht.
2. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von ${}2300$ kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist ${}10000$ kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}A,\,B$ und ${}C$ Mengen. Beweise die Identität

${}A\setminus {\left(B\setminus C\right)}={\left(A\setminus B\right)}\cup {\left(A\cap C\right)}\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

1. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$	${}8$
   ${}\varphi (x)$	${}a$	${}e$	${}f$	${}h$	${}e$	${}a$	${}c$	${}d$

2. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}f$	${}d$	${}e$	${}a$	${}b$	${}a$

3. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}c$	${}e$	${}f$	${}d$	${}e$	${}b$	${}a$

4. ${}L=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ${}M=\{a,b,c,d,e,f,g,h\}$,

   ${}x$	${}2$	${}1$	${}4$	${}3$	${}6$	${}5$	${}8$	${}7$
   ${}\varphi (x)$	${}h$	${}b$	${}f$	${}d$	${}e$	${}c$	${}g$	${}a$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P\in K[X]$ ein Polynom und ${}a\in K$. Zeige, dass ${}a$ genau dann eine Nullstelle von ${}P$ ist, wenn ${}P$ ein Vielfaches des linearen Polynoms ${}X-a$ ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Vergleiche

${\sqrt {3}}+{\sqrt {8}}\,\,{\text{ und }}\,\,{\sqrt {5}}+{\sqrt {6}}.$

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

In ${}\mathbb {Q}$ sei eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben, deren Anfangsglieder durch ${}x_{0}=0$, ${}x_{1}=0,7$, ${}x_{2}=0,73$, ${}x_{3}=0,734$ gegeben sind. Muss die Folge in ${}\mathbb {Q}$ konvergieren? Muss die Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergieren? Kann die Folge in ${}\mathbb {Q}$ konvergieren? Kann die Folge in ${}\mathbb {R}$ konvergieren?

Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die durch

$x_{n}={\sqrt[{n}]{n}}$

definierte Folge ($n\geq 1$). Zeige folgende Aussagen.

1. Für ${}n\geq 3$ ist die Folge monoton fallend.
2. Die Folge konvergiert gegen $1$.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Finde für die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)=x^{3}-3x+1,$

eine Nullstelle im Intervall ${}[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal ${}1/8$.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die durch

$f(x)={\begin{cases}x\cdot \sin {\frac {1}{x}}{\text{ für }}x\neq 0\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}$

definierte Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

Zeige, dass es zu jedem ${}\lambda ,\,-1\leq \lambda \leq 1$, eine Nullfolge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

${\frac {f(x_{n})-f(0)}{x_{n}}}$

gegen ${}\lambda$ konvergiert.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Ableitung der Funktion

${}f(x)={\frac {e^{x}-\cos x}{x^{2}+5x-6}}\,$

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Kettenregel für differenzierbare Funktionen.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige mit Hilfe der harmonischen Reihe, dass es für das bestimmte Integral ${}\int _{1}^{m}{\frac {1}{x}}\,dx$ keine von ${}m$ unabhängige obere Schranke gibt.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das Matrizenprodukt

${\begin{pmatrix}4&0&0&-3&7\\8&3&1&0&-5\\6&2&-1&-2&3\\-4&5&1&0&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&2&-4\\1&-1&5\\0&6&1\\-5&2&0\\6&-3&-2\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Erläutere, warum das Achsenkreuz im ${}\mathbb {R} ^{2}$ kein Untervektorraum ist

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die inverse Matrix zu

${\begin{pmatrix}1&1&0\\7&2&1\\0&0&4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix

${\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}.$