Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/50/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Punkte 3 3 2 2 2 4 4 3 2 8 4 5 2 4 3 3 1 1 3 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Der Binomialkoeffizient .
  2. Der Betrag einer reellen Zahl.
  3. Der Körper der komplexen Zahlen (mit den Verknüpfungen).
  4. Die höheren Ableitungen zu einer Funktion

    (rekursive Definition).

  5. Die durch eine Matrix festgelegte lineare Abbildung.
  6. Eine diagonalisierbare lineare Abbildung

    auf einem -Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Satz über die Interpolation durch Polynome.
  2. Die Summenregel für reelle Folgen.
  3. Der Satz über die Existenz von Stammfunktionen.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten den Satz „Nachts sind alle Katzen grau“.

  1. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf eine bestimmte Nacht bezieht.
  2. Negiere diesen Satz durch eine Existenzausssage, wenn der Satz sich auf jede Nacht bezieht.


Aufgabe * (2 Punkte)

Mustafa Müller beschließt, sich eine Woche lang ausschließlich von Schokolade seiner Lieblingssorte „Gaumenfreude“ zu ernähren. Eine Tafel besitzt einen Energiewert von kJ und sein Tagesbedarf an Energie ist kJ. Wie viele Tafeln muss er am Tag (gerundet auf zwei Nachkommastellen) und wie viele Tafeln muss er in der Woche essen?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es seien und Mengen. Beweise die Identität


Aufgabe * (4 Punkte)

Bestimme, welche der folgenden Wertetabellen Abbildungen zwischen den angegebenen Mengen festlegen. Welche sind injektiv, welche surjektiv, welche bijektiv?

  1. , ,
  2. , ,
  3. , ,
  4. , ,


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Sei ein Polynom und . Zeige, dass genau dann eine Nullstelle von ist, wenn ein Vielfaches des linearen Polynoms ist.


Aufgabe * (3 Punkte)

Vergleiche


Aufgabe * (2 Punkte)

In sei eine Folge gegeben, deren Anfangsglieder durch , , , gegeben sind. Muss die Folge in konvergieren? Muss die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren? Kann die Folge in konvergieren?


Aufgabe * (8 (5+3) Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Folge (). Zeige folgende Aussagen.

  1. Für ist die Folge monoton fallend.
  2. Die Folge konvergiert gegen .


Aufgabe * (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die durch

definierte Funktion

Zeige, dass es zu jedem , eine Nullfolge derart gibt, dass die Folge der Differenzenquotienten

gegen konvergiert.


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Kettenregel für differenzierbare Funktionen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige mit Hilfe der harmonischen Reihe, dass es für das bestimmte Integral keine von unabhängige obere Schranke gibt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Berechne das Matrizenprodukt


Aufgabe * (1 Punkt)

Erläutere, warum das Achsenkreuz im kein Untervektorraum ist


Aufgabe * (1 Punkt)

Beweise den Satz über die Dimension des Standardraumes.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die inverse Matrix zu


Aufgabe * (5 Punkte)

Bestimme das charakteristische Polynom, die Eigenwerte mit Vielfachheiten und die Eigenräume zur reellen Matrix