Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/59/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
Punkte 3 3 1 2 2 3 4 8 5 1 5 2 4 4 4 4 2 2 5 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Die Vereinigung der Mengen und .
  2. Das abgeschlossene Intervall .
  3. Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe .
  4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion
  5. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix über einem Körper .
  6. Das charakteristische Polynom zu einer -Matrix mit Einträgen in einem Körper .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
  2. Der Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
  3. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen (erste Version).


Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

w w f
w f f
f w w
f f f


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

die durch die Tabelle

gegebene Verknüpfung .

  1. Berechne
  2. Besitzt die Verknüpfung ein neutrales Element?


Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Körper und sei der Polynomring über . Es sei mit . Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von die Form , , besitzen.


Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

  1. Zeige die Abschätzungen
  2. Zeige die Abschätzungen
  3. Zeige die Abschätzung


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei eine gegen konvergente reelle Folge. Es sei

eine bijektive Abbildung. Zeige, dass auch die durch

definierte Folge gegen konvergiert.


Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine differenzierbare Funktion. Bestimme die Ableitung der Funktion


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei und . Wir betrachten die Hintereinanderschaltung .

  1. Berechne (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
  2. Berechne die Ableitung von mit Hilfe von Teil 1.
  3. Berechne die Ableitung von mit Hilfe der Kettenregel.


Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Bestimme das Taylorpolynom zu vom Grad im Entwicklungspunkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei ein Körper. Wir betrachten die Untervektorräume , die durch

bzw.

gegeben sind.

  1. Ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
  2. Ist abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei eine lineare Abbildung mit

und

Berechne .


Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung

auf einem reellen Vektorraum endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen bestimmen?