Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/59/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	1	2	2	3	4	8	5	1	5	2	4	4	4	4	2	2	5	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Vereinigung der Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Das abgeschlossene Intervall ${}[a,b]$.
3. Die absolute Konvergenz einer reellen Reihe ${}\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}$.
4. Die Riemann-Integrierbarkeit einer Funktion

   $f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} .$

5. Die inverse Matrix zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ über einem Körper ${}K$.
6. Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Fundamentalsatz der Algebra.
2. Der Satz über die Charakterisierung von Extrema mit höheren Ableitungen.
3. Die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Aufgabe * (1 Punkt)

Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.

${}p$ ${}q$ ${}?$ w w f w f f f w w f f f

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Wir betrachten auf der Menge

${}M=\{a,b,c,d\}\,$

die durch die Tabelle

${}\star$	${}a$	${}b$	${}c$	${}d$
${}a$	${}b$	${}a$	${}c$	${}d$
${}b$	${}d$	${}a$	${}a$	${}a$
${}c$	${}d$	${}b$	${}b$	${}a$
${}d$	${}b$	${}d$	${}d$	${}c$

gegebene Verknüpfung ${}\star$.

1. Berechne

   $a\star (b\star (c\star d)).$

2. Besitzt die Verknüpfung ${}\star$ ein neutrales Element?

Aufgabe * (2 Punkte)

Bestätige die folgende Identität.

${}2^{7}+17^{3}=71^{2}\,.$

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die reellen Intervalle, die die Lösungsmenge der folgenden Ungleichung sind.

${}\vert {2x-5}\vert <\vert {3x-4}\vert \,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}P=X^{n}\in K[X]$ mit ${}n\geq 1$. Zeige, dass sämtliche normierten Teiler von ${}P$ die Form ${}X^{k}$, ${}1\leq k\leq n$, besitzen.

Aufgabe * (8 (2+3+3) Punkte)

1. Zeige die Abschätzungen

   ${}{\frac {5}{2}}\leq {\sqrt {7}}\leq {\frac {8}{3}}\,.$

2. Zeige die Abschätzungen

   ${}15\leq 3^{\sqrt {7}}\leq 19\,.$

3. Zeige die Abschätzung

   ${}17\leq 3^{\sqrt {7}}\,.$

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}x_{n}$ eine gegen ${}x$ konvergente reelle Folge. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$

eine bijektive Abbildung. Zeige, dass auch die durch

${}y_{n}:=x_{\varphi (n)}\,$

definierte Folge gegen ${}x$ konvergiert.

Aufgabe (1 Punkt)

Skizziere den Graphen der Sinusfunktion.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion.

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion. Bestimme die Ableitung der Funktion

${}g(x):={\frac {f(f(x))}{f(x)}}\,.$

Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Es sei ${}f(x)={\frac {x}{x+1}}$ und ${}g(y)={\frac {y}{y+2}}$. Wir betrachten die Hintereinanderschaltung ${}h(x):=g(f(x))$.

1. Berechne ${}h$ (das Ergebnis muss als eine rationale Funktion vorliegen).
2. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe von Teil 1.
3. Berechne die Ableitung von ${}h$ mit Hilfe der Kettenregel.

Aufgabe * (4 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

${}f(x)={\sqrt {x^{3}-x+2}}\,.$

Bestimme das Taylorpolynom zu ${}f$ vom Grad ${}2$ im Entwicklungspunkt ${}2$.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Substitutionsregel zur Integration von stetigen Funktionen.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper. Wir betrachten die Untervektorräume ${}U,V\subseteq \operatorname {Mat} _{3}(K)$, die durch

${}U={\left\{M={\left(a_{ij}\right)}\in \operatorname {Mat} _{3}(K)\mid a_{31}=0\right\}}\,$

bzw.

${}V={\left\{M={\left(a_{ij}\right)}\in \operatorname {Mat} _{3}(K)\mid a_{21}=0{\text{ und }}a_{31}=0\right\}}\,$

gegeben sind.

1. Ist ${}U$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?
2. Ist ${}V$ abgeschlossen unter der Matrizenmultiplikation?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}\varphi \colon \mathbb {Q} ^{3}\rightarrow \mathbb {Q} ^{2}$ eine lineare Abbildung mit

${}\varphi (e_{1})={\begin{pmatrix}5\\7\end{pmatrix}}\,,$

${}\varphi (e_{2})={\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\,$

und

${}\varphi (e_{3})={\begin{pmatrix}4\\-11\end{pmatrix}}\,.$

Berechne ${}\varphi {\left({\begin{pmatrix}3\\-4\\2\end{pmatrix}}\right)}$.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei ${}\chi _{\varphi }\in \mathbb {R} [X]$ das charakteristische Polynom zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V$

auf einem reellen Vektorraum ${}V$ endlicher Dimension. Kann man daraus das charakteristische Polynom zu den Hintereinanderschaltungen ${}\varphi ^{n}$ bestimmen?