Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/8/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Punkte 3 3 4 5 4 4 3 5 5 3 4 4 2 4 4 4 3 64



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
  2. Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
  3. Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum .
  4. Ein Zentralfeld

    auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum .

  5. Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt .
  6. Das Gradientenfeld zu einer differenzierbaren Funktion

    auf einem euklidischen Vektorraum .


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
  2. Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung

    in einem Punkt

    .
  3. Der Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema einer Funktion
    in einem Punkt .


Aufgabe * (4 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem


Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen euklidischen Vektorraum .


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Wir betrachten die Funktionen

Es seien drei Vektoren. Wir definieren die Kurve

a) Berechne und .

b) Berechne .

c) Zeige, dass ein Vielfaches von und ein Vielfaches von ist.

d) Skizziere für , und das Bild der Kurve für .


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei

ein stetiges Vektorfeld, wobei die -te Komponente nur von der -ten Variabeln abhängen möge. Es sei

ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral nur von und abhängt.


Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen

(zu fixierten ) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei )

sind.

b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem

zu dieser Differentialgleichung an.


Aufgabe * (5 Punkte)

Löse das Anfangswertproblem

mit einem Potenzreihenansatz bis zur Ordnung .


Aufgabe * (5 Punkte)

Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu , , die Vektoren

Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme die Richtungsableitung von

im Punkt in Richtung .


Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige für Polynomfunktionen

direkt, dass

gilt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf kritische Punkte und Extrema.


Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)

Es sei

eine Funktion.

a) Realisiere den Graphen von als Faser zu einer Abbildung

über .

b) Sei stetig differenzierbar. Zeige, dass die Punkte auf dem Graphen von regulär sind.


Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

  1. Bestimme das totale Differential von in jedem Punkt .
  2. Bestimme die kritischen Punkte von .
  3. Bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von durch den Punkt .


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Wir betrachten das Vektorfeld

a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.

b) Bestimme ein Potential zu .


Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)

Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von cm und wird mit Öl und mit kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von cm und eine Höhe von cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von mm.

a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)?

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?


Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme das Integral zur Funktion

über dem Rechteck .