Kurs:Mathematik für Anwender/Teil II/8/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | |
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Punkte | 3 | 3 | 4 | 5 | 4 | 4 | 3 | 5 | 5 | 3 | 4 | 4 | 2 | 4 | 4 | 4 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine homogene lineare eindimensionale gewöhnliche Differentialgleichung.
- Eine offene Menge in einem metrischen Raum .
- Eine symmetrische Bilinearform auf einem reellen Vektorraum .
- Ein
Zentralfeld
auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum .
- Die partielle Differenzierbarkeit einer Funktion in einem Punkt .
- Das Gradientenfeld
zu einer differenzierbaren Funktion
auf einem euklidischen Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Abschätzung von Cauchy-Schwarz (oder Ungleichung von Cauchy-Schwarz).
- Der Satz über den Zusammenhang von totaler Differenzierbarkeit und Richtungsableitung für eine Abbildung
in einem Punkt
. - Der
Satz über die Beziehung zwischen der Definitheit der Hesse-Form und Extrema
einer Funktion
Aufgabe * (4 Punkte)
Löse das Anfangswertproblem
Aufgabe * (5 Punkte)
Beweise den Satz über das Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren für einen euklidischen Vektorraum .
Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die Funktionen
Es seien drei Vektoren. Wir definieren die Kurve
a) Berechne und .
b) Berechne .
c) Zeige, dass ein Vielfaches von und ein Vielfaches von ist.
d) Skizziere für , und das Bild der Kurve für .
Aufgabe * (4 Punkte)
Es sei
ein stetiges Vektorfeld, wobei die -te Komponente nur von der -ten Variabeln abhängen möge. Es sei
ein stetig differenzierbarer Weg. Zeige, dass das Wegintegral nur von und abhängt.
Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)
a) Zeige, dass die archimedischen Spiralen
(zu fixierten ) Lösungskurven für die Differentialgleichung (bei )
sind.
b) Man gebe eine Lösung für das Anfangswertproblem
zu dieser Differentialgleichung an.
Aufgabe * (5 Punkte)
Aufgabe * (5 Punkte)
Der sei mit der Standard-Minkowski-Form versehen. Zeige, dass zu , , die Vektoren
Geschwindigkeitsvektoren eines Beobachters sind. Zeige, dass jeder Beobachtervektor diese Gestalt besitzt.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige für Polynomfunktionen
direkt, dass
gilt.
Aufgabe * (4 Punkte)
Aufgabe * (2 (1+1) Punkte)
Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme das totale Differential von in jedem Punkt .
- Bestimme die kritischen Punkte von .
- Bestimme eine Basis für den Tangentialraum an die Faser von durch den Punkt .
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Wir betrachten das Vektorfeld
a) Zeige mit Hilfe der Integrabilitätsbedingung, dass ein Gradientenfeld ist.
b) Bestimme ein Potential zu .
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Eine Bratpfanne hat einen Durchmesser von cm und wird mit Öl und mit kreisrunden Bratkartoffeln überschneidungsfrei bedeckt, die alle einen Durchmesser von cm und eine Höhe von cm haben. Das Öl bildet unterhalb der Bratkartoffeln einen dünnen Ölfilm von mm Höhe und erreicht in den Zwischenräumen eine Höhe von mm.
a) Wie viel Öl befindet sich in der Pfanne (rechne mit ; Einheit nicht vergessen)?
b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?