Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 35/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es seien . Bestimme die Länge der affin-linearen Kurve
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine Kurve und . Zeige, dass genau dann rektifizierbar ist, wenn die beiden Einschränkungen von auf und auf rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall
gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Wir betrachten die Kurve
a) Zeige, dass die Bildpunkte der Kurve die Gleichung
erfüllen.
b) Zeige, dass jeder Punkt mit zum Bild der Kurve gehört.
c) Zeige, dass es genau zwei Punkte und mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Referenznummer erstellen
Bestimme die Länge des Graphen des cosinus hyperbolicus von nach .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Berechne die Länge des Graphen der Funktion
zwischen und .
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die differenzierbare Kurve
a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.
b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.
c) Zeige, dass für die Länge dieser Kurve die Abschätzung
gilt.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetig differenzierbare Kurve und sei
eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei der Graph der reellen Betragsfunktion. Man gebe eine differenzierbare Kurve
an, deren Bild genau ist.
Die folgenden Aufgaben
(einschließlich
Aufgabe 35.21) diskutieren, inwiefern höherdimensional ein „Mittelwertsatz“ gelten kann.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetig differenzierbare Kurve mit . Zeige, dass es kein derart geben muss, dass
mit einem , , gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetig differenzierbare Kurve mit für alle und mit . Zeige, dass es kein derart geben muss, dass
mit einem , , gilt.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
eine stetig differenzierbare Kurve mit für alle und mit . Zeige, dass es kein derart geben muss, dass und linear abhängig sind.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit abgeschossen und bewege sich danach luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne die Bahnkurve des Körpers und die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit von der Zeit .
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 35.18 ändern
Es sei ein kompaktes Intervall und
eine Abbildung. Zeige, dass genau dann rektifizierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme die Länge des Graphen der Exponentialfunktion von nach .
Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen
- Die Maiaufgabe
Die folgende Sonderaufgabe ist bis Ende Mai abzugeben.
Aufgabe (8 Punkte)Aufgabe 35.21 ändern
Es sei
eine stetig differenzierbare Kurve mit für alle . Zeige, dass es ein derart gibt, dass und linear abhängig sind.
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