Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 35/kontrolle

Aufwärmaufgaben

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es seien ${}v,w\in \mathbb {R} ^{n}$. Bestimme die Länge der affin-linearen Kurve

$[a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto tv+w.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Kurve und ${}c\in [a,b]$. Zeige, dass ${}f$ genau dann rektifizierbar ist, wenn die beiden Einschränkungen von ${}f$ auf ${}[a,c]$ und auf ${}[c,b]$ rektifizierbar sind, und dass in diesem Fall

${}L_{a}^{b}(f)=L_{a}^{c}(f)+L_{c}^{b}(f)\,$

gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{3}-5x^{2}+3x-2,$

von ${}-5$ nach ${}5$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme die Länge der durch

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),$

gegebenen Schraubenlinie für ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}b$, wobei ${}b\in \mathbb {R} _{\geq 0}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Kurve

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2}-1,t^{3}-t).$

a) Zeige, dass die Bildpunkte ${}(x,y)$ der Kurve die Gleichung

${}y^{2}=x^{2}+x^{3}\,$

erfüllen.

b) Zeige, dass jeder Punkt ${}(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}$ mit ${}y^{2}=x^{2}+x^{3}$ zum Bild der Kurve gehört.

c) Zeige, dass es genau zwei Punkte ${}t_{1}$ und ${}t_{2}$ mit identischem Bildpunkt gibt, und dass ansonsten die Abbildung injektiv ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Länge der Neilschen Parabel

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t^{2},t^{3}),$

von ${}0$ bis ${}b$, wobei ${}b\in \mathbb {R} _{>0}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Bestimme die Länge des Graphen des cosinus hyperbolicus ${}\cosh t$ von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{2}}x^{2}-x+13,$

zwischen ${}4$ und ${}8$.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Wir betrachten die differenzierbare Kurve

$f\colon [0,\pi ]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto (t,\sin t).$

a) Skizziere das Bild dieser Kurve und den Streckenzug, der sich ergibt, wenn man das Definitionsintervall in vier gleichlange Teilintervalle unterteilt.

b) Berechne die Gesamtlänge des in a) beschriebenen Streckenzugs.

c) Zeige, dass für die Länge ${}L$ dieser Kurve die Abschätzung

${}L\leq {\sqrt {2}}\pi \,$

gilt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Es sei

$\gamma \colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Kurve und sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine lineare Isometrie. Beweise die Längengleichheit

${}L(\gamma )=L(\varphi \circ \gamma )\,.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}G={\left\{(x,\vert {x}\vert )\mid x\in \mathbb {R} \right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ der Graph der reellen Betragsfunktion. Man gebe eine differenzierbare Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Bild genau ${}G$ ist.

Die folgenden Aufgaben (einschließlich Aufgabe 35.21) diskutieren, inwiefern höherdimensional ein „Mittelwertsatz“ gelten kann.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass

${}f'(c)=s\cdot {\left(f(b)-f(a)\right)}\,$

mit einem ${}s\in \mathbb {R}$, ${}s\neq 0$, gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$ und mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass

${}f'(c)=s\cdot {\left(f(b)-f(a)\right)}\,$

mit einem ${}s\in \mathbb {R}$, ${}s>0$, gilt.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$ und mit ${}f(a)\neq f(b)$. Zeige, dass es kein ${}c\in [a,b]$ derart geben muss, dass ${}f'(c)$ und ${}f(b)-f(a)$ linear abhängig sind.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Ein Massenteil werde zum Zeitpunkt ${}0$ von einem Berggipfel (der als Nullpunkt der Ebene angesetzt wird) mit konstanter horizontaler Geschwindigkeit ${}v$ abgeschossen und bewege sich danach luftwiderstandsfrei unter der (konstanten) Schwerkraft der Erde. Berechne die Bahnkurve ${}f(t)$ des Körpers und die zurückgelegte Strecke ${}s(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit ${}t$.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne die Länge des Graphen der Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{3}}x^{2}-4x+11,$

zwischen ${}2$ und ${}9$.

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Länge der differenzierbaren Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto {\left({\frac {t^{3}}{3}},{\frac {4t^{5}}{5}},{\frac {8t^{7}}{7}}\right)},$

von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe (3 Punkte)Aufgabe 35.18 ändern

Es sei ${}[a,b]$ ein kompaktes Intervall und

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine Abbildung. Zeige, dass ${}f$ genau dann rektifizierbar ist, wenn sämtliche Komponentenfunktionen rektifizierbar sind.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Länge des Graphen der Exponentialfunktion ${}\exp t$ von ${}a$ nach ${}b$.

Aufgabe (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe eine differenzierbare Kurve

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

an, deren Bild genau das Achsenkreuz ist.

Die Maiaufgabe

Die folgende Sonderaufgabe ist bis Ende Mai abzugeben.

Aufgabe (8 Punkte)Aufgabe 35.21 ändern

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2}$

eine stetig differenzierbare Kurve mit ${}f'(t)\neq 0$ für alle ${}t\in [a,b]$. Zeige, dass es ein ${}c\in [a,b]$ derart gibt, dass ${}f'(c)$ und ${}f(b)-f(a)$ linear abhängig sind.