Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 40/kontrolle
- Aufwärmaufgaben
Aufgabe Referenznummer erstellen
Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix
Aufgabe Referenznummer erstellen
Aufgabe Aufgabe 40.3 ändern
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Wie findet man die Determinante von im charakteristischen Polynom wieder?
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, ein - Vektorraum und
eine lineare Abbildung. Es sei ein Eigenwert von und ein Polynom. Zeige, dass ein Eigenwert von[2] ist.
Aufgabe * Referenznummer erstellen
Wir betrachten die lineare Abbildung
die bezüglich der Standardbasis durch die Matrix
beschrieben wird.
a) Bestimme das charakteristische Polynom und die Eigenwerte von .
b) Berechne zu jedem Eigenwert einen Eigenvektor.
c) Stelle die Matrix für bezüglich einer Basis aus Eigenvektoren auf.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei
Berechne:
- die Eigenwerte von ;
- die zugehörigen Eigenräume;
- die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
- eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.
Aufgabe Referenznummer erstellen
Es sei ein Körper, und mit . Man gebe Beispiele für - Matrizen derart, dass ein Eigenwert zu ist mit der algebraischen Vielfachheit und der geometrischen Vielfachheit .
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
Berechne das charakteristische Polynom zur Matrix
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
Berechne:
- die Eigenwerte von ;
- die zugehörigen Eigenräume;
- die geometrische und algebraische Vielfachheit der einzelnen Eigenwerte;
- eine Matrix derart, dass eine Diagonalmatrix ist.
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme für jedes die algebraischen und geometrischen Vielfachheiten für die Matrix
Aufgabe (4 Punkte)Aufgabe 40.13 ändern
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
- Fußnoten
- ↑ Die Hauptschwierigkeit bei dieser Aufgabe ist vermutlich zu erkennen, dass man hier wirklich was zeigen muss.
- ↑ Der Ausdruck bedeutet, dass man die lineare Abbildung in das Polynom einsetzt. Dabei muss man als , also als die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst, interpretieren, die Addition wird zur Addition von linearen Abbildungen, u.s.w.
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