Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Vorlesung 54/latex
\setcounter{section}{54}
\zwischenueberschrift{Gradientenfelder}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Gradient_field.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Gradient field.png } {} {Christophe.Finot} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{}
und
\maabbdisp {h} {U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{.}
Dann nennt man die Abbildung
\maabbeledisp {} {U} {V
} {P} {
\operatorname{Grad} \, h ( P )
} {,}
das zugehörige \definitionswort {Gradientenfeld}{.}
} Ein Gradientenfeld ist also ein zeitunabhängiges Vektorfeld. Man spricht auch von einem \stichwort {Potentialfeld} {,} die Funktion $h$ \zusatzklammer {manchmal $-h$} {} {} heißt dann ein Potential des Vektorfeldes. Wenn $h$ zweimal stetig differenzierbar ist, so genügt nach Lemma 53.3 das zugehörige Gradientenfeld lokal einer Lipschitz-Bedingung.
Die folgende Aussage zeigt, dass die Lösungskurven der zugehörigen Differentialgleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v'
}
{ = }{
\operatorname{Grad} \, h ( v )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
senkrecht auf den Fasern von $h$ liegen. Die Fasern beschreiben, wo das Potential
\zusatzklammer {oder die Höhenfunktion} {} {}
konstant ist, die Lösungen beschreiben
nach Satz 49.10
den Weg des steilsten Anstiegs. Wenn $h$ beispielsweise die Höhenfunktion eines Gebirges ist, so gibt das Gradientenfeld in jedem Punkt den steilsten Anstieg an und die Trajektorie einer Lösungskurve beschreibt den Verlauf eines Baches
\zusatzklammer {wir behaupten nicht, dass die Bewegung eines Wassermoleküls im Bach durch diese Differentialgleichung bestimmt ist, sondern lediglich, dass der zurückgelegte Weg, also das Bild der Kurve, mit dem Bild der Lösungskurve übereinstimmt} {} {.}
Der Bach verläuft immer senkrecht zu den Höhenlinien.
\inputfaktbeweis
{Gradientenfeld/Lösungen der DG/Senkrecht auf Tangentialraum/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {offen}{}{,}
\maabbdisp {h} {U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
und
\maabbeledisp {} {U} {V
} {P} {G(P) =
\operatorname{Grad} \, h ( P )
} {,}
das zugehörige
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\maabbdisp {\varphi} {J} {U
} {}
eine
\definitionsverweis {Lösung der Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v'
}
{ =} { G(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann steht
\mathl{\varphi'(t)}{}
\definitionsverweis {senkrecht}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{}
\mathl{T_{\varphi(t)} F}{} der
\definitionsverweis {Faser}{}{}
$F$ von $h$ durch $\varphi(t)$ für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ t
}
{ \in }{ J
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
für die $\varphi(t)$
\definitionsverweis {reguläre Punkte}{}{}
von $h$ sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{\varphi(t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {regulärer Punkt}{}{}
von $h$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \in }{ T_P F
}
{ = }{ \operatorname{kern} \left(Dh\right)_{P}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Vektor aus dem
\definitionsverweis {Tangentialraum}{}{.}
Dann gilt direkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v , \varphi'(t) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v , G ( \varphi(t) ) \right\rangle
}
{ =} { \left\langle v ,
\operatorname{Grad} \, h ( P ) \right\rangle
}
{ =} { { \left( Dh \right) }_{P} { \left( v \right) }
}
{ =} { 0
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die \stichwort {Produkt\-abbildung} {}
\maabbeledisp {h} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {xy
} {.}
Das zugehörige
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
ist
\maabbeledisp {} {\R^2} {\R^2
} {(x,y)} {G(x,y) = (y,x)
} {.}
Die
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
von $h$ sind das Achsenkreuz
\zusatzklammer {die Faser über $0$} {} {}
und die durch
\mathbed {xy=c} {}
{c \neq 0} {}
{} {} {} {,}
gegebenen
\definitionsverweis {Hyperbeln}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Lösungen}{}{}
der
\definitionsverweis {linearen Differentialgleichung}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} \varphi_1' \\\varphi_2' \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} \varphi_2 \\\varphi_1 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \varphi_1 \\\varphi_2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ =} { (\varphi_1(t), \varphi_2(t))
}
{ =} { ( a \cosh t + b \sinh t , a \sinh t + b \cosh t)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit beliebigen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wie man direkt nachrechnet und was sich auch aus
Lemma 43.1
bzw.
Aufgabe *****
ergibt. Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(0)
}
{ = }{ (a,b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist dies die
\definitionsverweis {stationäre Lösung}{}{}
im Nullpunkt, in dem die Produktabbildung nicht
\definitionsverweis {regulär}{}{}
ist. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ = }{ (e^t,e^t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das Bild dieser Lösung ist die obere Halbdiagonale
\zusatzklammer {ohne den Nullpunkt} {} {,}
bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{b
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ = }{ (-e^t,-e^t)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das Bild dieser Lösung ist die untere Halbdiagonale, bei
\mathkor {} {a=1} {und} {b=-1} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ = }{ (e^{-t},-e^{-t})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das Bild dieser Lösung ist die untere Hälfte der Nebendiagonalen, bei
\mathkor {} {a=-1} {und} {b=1} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(t)
}
{ = }{ (-e^{-t},e^{-t})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
das Bild dieser Lösung ist die obere Hälfte der Nebendiagonalen.
Ansonsten treffen die Lösungskurven das Achsenkreuz in einem Punkt
\mathl{\neq (0,0)}{.} Wenn man diesen Punkt als Anfangswert zum Zeitpunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nimmt, so kann man die Lösungskurven als
\mathdisp {(a \cosh t, a \sinh t )} { }
\zusatzklammer {zum Zeitpunkt \mathlk{t=0}{} befindet sich die Lösung auf der $x-$Achse im Punkt \mathlk{(a,0)}{}} {} {,}
und als
\mathdisp {(b \sinh t, b \cosh t )} { }
\zusatzklammer {zum Zeitpunkt
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ t
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
befindet sich die Lösung auf der $y-$Achse im Punkt \mathlk{(0,b)}{}} {} {}
realisieren. Die Bahnen dieser Lösungen erfüllen die Gleichung
\mathkor {} {x^2(t)-y^2(t)=a^2} {bzw.} {x^2(t)-y^2(t)=b^2} {,}
d.h. sie sind selbst Hyperbeln.
}
\zwischenueberschrift{Wegintegrale und Gradientenfelder}
\inputfaktbeweis
{Gradientenfeld/Wegintegral/Berechnung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {h} {U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{
\operatorname{Grad} \, h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
in $U$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma G
}
{ =} { h(\gamma(b)) - h(\gamma(a))
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {D.h. das Wegintegral hängt nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges ab\zusatzfussnote {In einem Potentialfeld ist also die geleistete Arbeit gleich der Potentialdifferenz von Start- und Endpunkt} {.} {.}}
\faktzusatz {}
}
{
Aufgrund der
Kettenregel
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_\gamma G
}
{ =} { \int_a^b \left\langle G(\gamma(t)) , \gamma'(t) \right\rangle dt
}
{ =} {\int_a^b \sum_{i = 1}^n G_i(\gamma(t)) \cdot \gamma_i'(t) dt
}
{ =} {\int_a^b \sum_{i = 1}^n { \frac{ \partial h }{ \partial x_i } }(\gamma(t)) \cdot \gamma_i'(t) dt
}
{ =} {\int_a^b (h \circ \gamma )^{\prime} (t) dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { h(\gamma(b))- h (\gamma(a))
}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
\inputfaktbeweis
{Gradientenfeld/Geschlossenes Wegintegral/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {h} {U} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {differenzierbare Funktion}{}{}
mit dem zugehörigen
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{
\operatorname{Grad} \, h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbarer Weg}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \gamma(a)
}
{ = }{ \gamma(b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \int_\gamma G
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Lemma 54.4.
\inputfaktbeweis
{Teilmenge/R^n/Gradientenfeld/Charakterisierung mit Wegintegralen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {zusammenhängende Teilmenge}{}{\zusatzfussnote {Eine offene Teilmenge \mathlk{U \subseteq \R^n}{} heißt \stichwort {(Weg-)zusammenhängend} {,} wenn man je zwei Punkte
\mathl{P,Q \in U}{} durch einen stetigen Weg miteinander verbinden kann} {.} {}}
und
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {stetiges}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {$G$ ist ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.}
} {Für jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
hängt das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma G}{} nur vom Anfangspunkt
\mathl{\gamma(a)}{} und Endpunkt
\mathl{\gamma(b)}{} ab.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{Die Implikation
\mathl{(1) \Rightarrow (2)}{} folgt aus
Lemma 54.4.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{Es sei umgekehrt die Eigenschaft $(2)$ erfüllt. Wir geben eine auf $U$ definierte Funktion $h$ an, die differenzierbar ist und deren
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
gleich dem vorgegebenen Vektorfeld ist. Dazu sei ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
fixiert. Für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt es einen
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{\zusatzfussnote {Aus der Existenz eines verbindenden stetigen Weges folgt die Existenz eines verbindenden stetig differenzierbaren Weges. Man könnte also auch diese Eigenschaft als Definition für zusammenhängend nehmen} {.} {}}
\maabbdisp {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
mit
\mathkor {} {\gamma(a)=P} {und} {\gamma(b)=Q} {.}
Wir setzen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h (Q)
}
{ \defeq} { \int_\gamma G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aufgrund der vorausgesetzten Wegunabhängigkeit des Integrals ist
\mathl{h(Q)}{} wohldefiniert. Wir müssen zeigen, dass diese so definierte Funktion in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und in jede Richtung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ = }{(v_1 , \ldots , v_n)
}
{ \in }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
ist und die Richtungsableitung mit
\mathl{\left\langle G(Q) , v \right\rangle}{} übereinstimmt. Dazu betrachten wir
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h (Q+tv) - h (Q)
}
{ =} { \int_\delta G
}
{ =} { \int_0^t \left\langle G(Q+sv) , v \right\rangle ds
}
{ =} { \int_0^t \sum_{i = 1}^n G_i(Q+sv) \cdot v_i ds
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\delta$ der verbindende lineare Weg von $Q$ nach
\mathl{Q+tv}{} auf
\mathl{[0,t]}{} sei
\zusatzklammer {und $t$ hinreichend klein sei, damit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ Q+tv
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist} {} {.}
Für den
\definitionsverweis {Differentialquotienten}{}{}
ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ \operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ h (Q+tv) - h (Q) }{ t } }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n \operatorname{lim}_{ t \rightarrow 0 } \, { \frac{ 1 }{ t } } \int_0^t G_i(Q+sv) \cdot v_i ds
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n G_i(Q) \cdot v_i
}
{ =} { \left\langle G(Q) , v \right\rangle
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Somit existiert die Richtungsableitung von $h$ in Richtung $v$ und hängt stetig von $Q$ ab. Diese Gleichung zeigt ferner
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( Dh \right) }_{Q} { \left( v \right) }
}
{ =} { { \left( D_{v} h \right) } { \left( Q \right) }
}
{ =} { \left\langle G(Q) , v \right\rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
sodass $G$ das Gradientenfeld zu $h$ ist.}
{}
\zwischenueberschrift{Die Integrabilitätsbedingung}
Wie kann man erkennen, ob ein gegebenes Vektorfeld ein Gradientenfeld ist? Eine notwendige Bedingung schlägt sich in der folgenden Definition nieder.
\inputdefinition
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{\R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}
Man sagt, dass $G$ die
\definitionswort {Integrabilitätsbedingung}{}
erfüllt
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {lokal integrabel}{} ist} {} {,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_i }{ \partial x_j } }(P)
}
{ =} { { \frac{ \partial G_j }{ \partial x_i } }(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und alle $i, j$ gilt.
}
\inputfaktbeweis
{Gradientenfeld/Integrabilitätsbedingung/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Das
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
einer}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {zweimal stetig differenzierbaren}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{}}
\faktfolgerung {erfüllt die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 45.11.
\inputbeispiel{}
{
Das lineare
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {G} {\R^2} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}} { \begin{pmatrix} -y \\x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}
} {,}
erfüllt wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial y } }
}
{ =} { -1
}
{ \neq} {1
}
{ =} { { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}
Es kann also nach
Lemma 54.8
kein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{}
sein.
}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Partieetoilee.PNG} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Partieetoilee.PNG } {} {} {fr Wikipedia} {CC-by-sa 3.0} {}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswort {sternförmig}{}
bezüglich eines Punktes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wenn für jeden Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Verbindungsstrecke
\mathbed {sQ+(1-s) P} {}
{s \in [0,1]} {}
{} {} {} {,}
ganz in $T$ liegt.
}
\inputfaktbeweis
{Teilmenge/R^n/Sternförmig/Gradientenfeld/Charakterisierung/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine}
\faktvoraussetzung {\definitionsverweis {sternförmige}{}{}
\definitionsverweis {offene Teilmenge}{}{}
und
\maabbdisp {G} {U} {\R^n
} {}
ein
\definitionsverweis {stetig differenzierbares}{}{}
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind die folgenden Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{$G$ ist ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{.}
}{$G$ erfüllt die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}
}{Für jeden
\definitionsverweis {stetig differenzierbaren Weg}{}{}
\maabb {\gamma} {[a,b]} {U
} {}
hängt das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
\mathl{\int_\gamma G}{} nur vom Anfangspunkt
\mathl{\gamma(a)}{} und Endpunkt
\mathl{\gamma(b)}{} ab.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Äquivalenz
\mathl{(1) \Longleftrightarrow (3)}{} folgt aus
Satz 54.6
und die Implikation
\mathl{(1) \Longrightarrow (2)}{} aus
Lemma 54.8.
Es bleibt also
\mathl{(2) \Longrightarrow (1)}{} zu zeigen, wobei wir explizit eine Stammfunktion $h$ zum Vektorfeld $G$ angeben. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt derart, dass $U$ bezüglich $P$
\definitionsverweis {sternförmig}{}{}
ist. Wir definieren
\mathl{h (Q)}{} über das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zu $G$ zum linearen Verbindungsweg
\maabbeledisp {\gamma} {[0,1] } { U
} {t} { P+ t(Q-P)
} {,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h (Q)
}
{ \defeq} { \int_\gamma G
}
{ =} { \int_0^1 \left\langle G(\gamma(t)) , Q-P \right\rangle dt
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir müssen zeigen, dass der
\definitionsverweis {Gradient}{}{}
zu $h$ gleich $G$ ist, d.h. es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial h }{ \partial x_i } }
}
{ =} { G_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{}
zu zeigen. Dafür können wir
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
annehmen und wir schreiben $v$ statt $Q$. Mit diesen Bezeichnungen und Voraussetzungen ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } h (v)
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( \int_0^1 \left\langle G(tv) , v \right\rangle dt \right) }
}
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } \left\langle G(tv) , v \right\rangle \right) } dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } { \left( \sum_{j=1}^n G_j(tv) \cdot v_j \right) } \right) } dt
}
{ =} { \int_0^1 t \sum_{j= 1}^n v_j { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_i } } G_j \right) } (tv) + G_i(tv) dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} { \int_0^1 t \sum_{j= 1}^n v_j { \left( { \frac{ \partial }{ \partial x_j } } G_i \right) } (tv) + G_i(tv) dt
}
{ =} { \int_0^1 { \left( t \mapsto t \cdot G_i(tv) \right) }^\prime dt
}
{ =} { { \left( t \cdot G_i(tv) \right) } {{|}}_0^1
}
{ =} { G_i (v)
}
}
{}{.}
Dabei beruht die zweite Gleichung auf
der Vertauschbarkeit von Integration und Differentiation
\zusatzklammer {angewendet auf die stetig differenzierbare Funktion
\maabbele {} {[0,1] \times U} { \R
} {(t,v)} { \left\langle G(tv) , v \right\rangle
} {}} {} {,}
die vierte Gleichung auf
Aufgabe 47.6,
die fünfte Gleichung auf der Integrabilitätsbedingung, die sechste Gleichung auf der
Kettenregel
und der Produktregel und die siebte Gleichung auf der
Newton-Leibniz-Formel.
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten das
\definitionsverweis {Vektorfeld}{}{}
\maabbeledisp {G} {\R^2 \setminus \{(0,0)\}} {\R^2
} { \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} } { { \frac{ 1 }{ x^2+y^2 } } \begin{pmatrix} -y \\x \end{pmatrix}
} {.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_1 }{ \partial y } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial y } } { \left( { \frac{ -y }{ x^2+y^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ -(x^2+y^2)+y(2y) }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ -x^2+y^2 }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial G_2 }{ \partial x } }
}
{ =} { { \frac{ \partial }{ \partial x } } { \left( { \frac{ x }{ x^2+y^2 } } \right) }
}
{ =} { { \frac{ (x^2+y^2)-x(2x) }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ =} { { \frac{ -x^2+y^2 }{ (x^2+y^2)^2 } }
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllt dieses Vektorfeld die
\definitionsverweis {Integrabilitätsbedingung}{}{.}
Es handelt sich aber nicht um ein
\definitionsverweis {Gradientenfeld}{}{:}
Das
\definitionsverweis {Wegintegral}{}{}
zur
\zusatzklammer {geschlossenen} {} {}
trigonometrischen Parametrisierung des Einheitskreises
\maabbeledisp {\gamma} {[0,2 \pi]} { \R^2
} {t} { \begin{pmatrix} \cos t \\ \sin t \end{pmatrix}
} {,}
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\int_\gamma G
}
{ =} { \int_0^{2 \pi} \left\langle G(\gamma(t)) , \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \right\rangle dt
}
{ =} { \int_0^{2 \pi} \left\langle \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} - \sin t \\ \cos t \end{pmatrix} \right\rangle dt
}
{ =} {\int_0^{2 \pi} \sin^{ 2 } t + \cos^{ 2 } t dt
}
{ =} { \int_0^{2 \pi} 1 dt
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {2 \pi
}
{ \neq} {0
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}
im Gegensatz zu
Korollar 54.5.
}
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