Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 10

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge, eine Funktion und ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. ist stetig in .
  2. Zu jedem gibt es ein derart, dass aus

    die Abschätzung

    folgt.

  3. Zu jedem gibt es ein derart, dass aus

    die Abschätzung

    folgt.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Melons - Fethiye Market.jpg

Aufgabe

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen und Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?


Aufgabe *

Es sei

Zeige, dass für alle die folgende Beziehung gilt: Wenn

dann ist


Aufgabe

Bestimme für die Funktion

im Punkt für ein explizites derart, dass aus

die Abschätzung

folgt.


Aufgabe

Sei eine Teilmenge und sei

eine stetige Funktion. Es sei ein Punkt mit . Zeige, dass dann auch für alle aus einem nichtleeren offenen Intervall gilt.


Aufgabe *

Es sei und seien

stetige Funktionen mit

Zeige, dass es ein derart gibt, dass

für alle gilt.


Aufgabe *

Es sei eine stetige Funktion. Zeige die folgenden Aussagen.

  1. Die Funktion ist durch ihre Werte auf eindeutig festgelegt.
  2. Der Funktionswert ist durch die Funktionswerte , , festgelegt.
  3. Wenn für alle die Abschätzung

    gilt, so gilt auch


Aufgabe

Es seien reelle Zahlen und es seien

und

stetige Funktionen mit . Zeige, dass dann die Funktion

mit

ebenfalls stetig ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

von gibt.


Aufgabe

Es sei eine endliche Teilmenge und

eine Funktion. Zeige, dass stetig ist.


Aufgabe

Zeige, dass es eine stetige Funktion

derart gibt, dass auf jedem Intervall der Form mit sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Ist eine solche Funktion „zeichenbar“? Siehe auch Aufgabe 16.23.


Aufgabe

Berechne den Grenzwert der Folge

für .


Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion
mit
nur im Nullpunkt stetig ist.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe

Die Folge sei rekursiv durch und

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.


Aufgabe

Beweise direkt die Rechenregeln aus Lemma 10.6 (ohne Bezug auf das Folgenkriterium).


Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

stetig ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion und eine absolut konvergente reelle Reihe mit derart, dass die Reihe nicht konvergiert.


Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei eine Funktion und . Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Es ist
  2. Für jedes gibt es ein derart, dass für alle mit die Abschätzung gilt.


Aufgabe

Es sei

die Menge der Stammbrüche und eine reelle Folge. Es sei und . Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Die Folge konvergiert gegen .
  2. Die Funktion

    mit

    besitzt den Grenzwert .

  3. Die Funktion

    mit

    und ist stetig.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Funktion

im Punkt für ein explizites derart, dass aus

die Abschätzung

folgt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, für welche Punkte die durch

definierte Funktion stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion mit

in keinem Punkt stetig ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

definierten Folge, wobei

ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

im Punkt .



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