Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 10

Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige, dass eine lineare Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼ax,$

stetig ist.

Aufgabe

Es sei  $D\subseteq ℝ$  eine Teilmenge, $f:D\to ℝ$ eine Funktion und  $a\in D$  ein Punkt. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. $f$ ist stetig in $a$.
2. Zu jedem  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$  gibt es ein  $m\in {\mathbb{N}}_{+}$  derart, dass aus

   $|x-a|\le \frac{1}{m}$

   die Abschätzung

   $|f(x)-f(a)|\le \frac{1}{n}$

   folgt.

3. Zu jedem  $s\in \mathbb{N}$  gibt es ein  $r\in \mathbb{N}$  derart, dass aus

   $|x-a|\le \frac{1}{10^r}$

   die Abschätzung

   $|f(x)-f(a)|\le \frac{1}{10^s}$

   folgt.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼|x|,$

stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

${ℝ}_{\ge 0}⟶{ℝ}_{\ge 0},x⟼\sqrt{x},$

stetig ist.

Aufgabe

Bauer Ernst möchte ein quadratisches Melonenfeld anlegen. Das Feld sollte $100$ Quadratmeter groß sein, er findet aber jede Größe zwischen $99$ und $101$ Quadratmetern noch akzeptabel. Welcher Fehler (Abweichung) ist ungefähr für die Seitenlänge erlaubt, damit das entstehende Quadrat innerhalb der vorgegebenen Toleranz liegt?

Aufgabe *

Es sei

$f(x)=2x^3-4x+5.$

Zeige, dass für alle $x\in ℝ$ die folgende Beziehung gilt: Wenn

$|x-3|\le \frac{1}{800},$

dann ist

$|f(x)-f(3)|\le \frac{1}{10}.$

Aufgabe

Bestimme für die Funktion

$f(x)=2x^3-4x^2+x-6$

im Punkt  $a=1$  für  $ϵ=\frac{1}{10}$  ein explizites  $\delta >0$  derart, dass aus

$d(x,a)\le \delta$

die Abschätzung

$d(f(x),f(a))\le ϵ$

folgt.

Aufgabe

Es sei  $T\subseteq ℝ$  eine Teilmenge und sei

$f:T⟶ℝ$

eine stetige Funktion. Es sei  $x\in T$  ein Punkt mit  $f(x)>0$.  Zeige, dass dann auch  $f(y)>0$  für alle  $y\in T$  aus einem nichtleeren offenen Intervall $]x-\delta ,x+\delta [$ gilt.

Aufgabe *

Es sei $a\in ℝ$ und seien

$f,g:ℝ⟶ℝ$

stetige Funktionen mit

$f(a)>g(a).$

Zeige, dass es ein $\delta >0$ derart gibt, dass

$f(x)>g(x)$

für alle $x\in [a-\delta ,a+\delta ]$ gilt.

Aufgabe *

Es sei $f:ℝ\to ℝ$ eine stetige Funktion. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Die Funktion $f$ ist durch ihre Werte auf $\mathbb{Q}$ eindeutig festgelegt.
2. Der Funktionswert $f(a)$ ist durch die Funktionswerte $f(x)$, $x\ne a$, festgelegt.
3. Wenn für alle  $x<a$  die Abschätzung

   $f(x)\le c$

   gilt, so gilt auch

   $f(a)\le c.$

Aufgabe

Es seien  $a<b<c$  reelle Zahlen und es seien

$g:[a,b]⟶ℝ$

und

$h:[b,c]⟶ℝ$

stetige Funktionen mit  $g(b)=h(b)$.  Zeige, dass dann die Funktion

$f:[a,c]⟶ℝ$

mit

$f(t)=g(t)\text{ für }t\le b\text{ und }f(t)=h(t)\text{ für }t>b$

ebenfalls stetig ist.

Aufgabe

Es sei

$f:[a,b]⟶ℝ$

eine stetige Funktion. Zeige, dass es eine stetige Fortsetzung

$\tilde{f}:ℝ⟶ℝ$

von $f$ gibt.

Aufgabe

Es sei  $T\subseteq ℝ$  eine endliche Teilmenge und

$f:T⟶ℝ$

eine Funktion. Zeige, dass $f$ stetig ist.

Aufgabe

Zeige, dass es eine stetige Funktion

$f:ℝ⟶ℝ$

derart gibt, dass $f$ auf jedem Intervall der Form $[0,\delta ]$ mit  $\delta >0$  sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Ist eine solche Funktion „zeichenbar“? Siehe auch Aufgabe 16.23.

Aufgabe

Berechne den Grenzwert der Folge

$x_n=5{\left(\frac{2n+1}{n}\right)}^3-4{\left(\frac{2n+1}{n}\right)}^2+2\left(\frac{2n+1}{n}\right)-3$

für $n\to \mathrm{\infty }$.

Aufgabe *

Zeige, dass die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ$

mit

$f(x)=\{\begin{array}{c}x,\text{ falls }x\in \mathbb{Q},\\ 0,\text{ sonst},\end{array}$

nur im Nullpunkt stetig ist.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der Folge

$x_n=\sqrt{\frac{7n^2-4}{3n^2-5n+2}},n\in \mathbb{N}.$

Aufgabe

Die Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ sei rekursiv durch  $x_0=1$  und

$x_{n+1}=\sqrt{x_n+1}$

definiert. Zeige, dass diese Folge konvergiert und berechne den Grenzwert.

Aufgabe

Beweise direkt die Rechenregeln aus Lemma 10.6 (ohne Bezug auf das Folgenkriterium).

Aufgabe

Zeige, dass die Funktion

$f:ℝ⟶ℝ,x⟼\frac{2x^7-3x|6x^3-11|}{|3x-5|+|4x^3-5x+1|},$

stetig ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine stetige Funktion $f:{ℝ}_{\ge 0}\to {ℝ}_{\ge 0}$ und eine absolut konvergente reelle Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ mit  $a_k\ge 0$  derart, dass die Reihe $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}f(a_k)$ nicht konvergiert.

Aufgabe

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

$\frac{x-1}{x^2-1}$

im Punkt  $a=1$. 

Aufgabe

Es sei  $T\subseteq ℝ$  eine Teilmenge und sei  $a\in ℝ$  ein Punkt. Es sei $f:T\to ℝ$ eine Funktion und  $b\in ℝ$.  Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Es ist

   ${\lim }_{x\to a}f(x)=b.$

2. Für jedes  $ϵ>0$  gibt es ein  $\delta >0$  derart, dass für alle  $x\in T$  mit  $d(x,a)\le \delta$  die Abschätzung  $d(f(x),b)\le ϵ$  gilt.

Aufgabe

Es sei

$T=\{\frac{1}{n}\mid n\in {\mathbb{N}}_{+}\}\subseteq ℝ$

die Menge der Stammbrüche und ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine reelle Folge. Es sei  $b\in ℝ$  und  $D=T\cup \{0\}$.  Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Die Folge konvergiert gegen $b$.
2. Die Funktion

   $f:T⟶ℝ$

   mit

   $f\left(\frac{1}{n}\right)=x_n$

   besitzt den Grenzwert  ${\lim }_{x\to 0}f(x)=b$. 

3. Die Funktion

   $\tilde{f}:D⟶ℝ$

   mit

   $\tilde{f}\left(\frac{1}{n}\right)=x_n$

   und  $\tilde{f}(0)=b$  ist stetig.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die Funktion

$f(x)=x^3+5x^2-3x+2$

im Punkt  $a=3$  für  $ϵ=\frac{1}{100}$  ein explizites  $\delta >0$  derart, dass aus

$d(x,a)\le \delta$

die Abschätzung

$d(f(x),f(a))\le ϵ$

folgt.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, für welche Punkte  $x\in ℝ$  die durch

$f(x)=\{\begin{array}{c}1\text{ für }x\le -1,\\ x^2\text{ für }-1<x<2,\\ -2x+7\text{ für }x\ge 2,\end{array}$

definierte Funktion stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass die Funktion $f:ℝ\to ℝ$ mit

$f(x)=\{\begin{array}{c}1,\text{ falls }x\in \mathbb{Q},\\ 0\text{ sonst},\end{array}$

in keinem Punkt $x\in ℝ$ stetig ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der durch

$b_n=2a_n^4-6a_n^3+a_n^2-5a_n+3$

definierten Folge, wobei

$a_n=\frac{3n^3-5n^2+7}{4n^3+2n-1}$

ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der rationalen Funktion

$\frac{2x^3+3x^2-1}{x^3-x^2+x+3}$

im Punkt  $a=-1$.