Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 9

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige .


Aufgabe *

Es sei

  1. Finde das kleinste mit
  2. Finde das kleinste mit


Aufgabe

Zeige, dass die beiden Reihen

divergieren.


Aufgabe

Seien . Zeige, dass die Reihe

divergiert.


Aufgabe

Zeige, dass die Reihe

divergiert.


Aufgabe *

Zeige die Abschätzung


Aufgabe

Es seien

konvergente Reihen von reellen Zahlen mit den Summen und . Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Die Reihe mit ist ebenfalls konvergent mit der Summe .
  2. Für ist auch die Reihe mit konvergent mit der Summe .


Aufgabe *

Beweise das Cauchy-Kriterium für Reihen reeller Zahlen.


Aufgabe

Es sei eine reelle Reihe mit für alle . Zeige, dass die Reihe genau dann konvergent ist, wenn sie nach oben beschränkt ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine reelle Reihe , die (als Folge von Partialsummen) beschränkt ist, aber nicht konvergiert.


Aufgabe

Sei . Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


Aufgabe

Beweise das folgende Minorantenkriterium.


Es seien und zwei Reihen von nichtnegativen reellen Zahlen. Die Reihe sei divergent und es gelte für alle .

Dann ist auch die Reihe divergent.


Aufgabe *

Entscheide, ob die Reihe

konvergiert.


Es sei eine reelle Reihe. Eine Umordnung dieser Reihe ist die Reihe mit zu einer bijektiven Abbildung .


Bei einer Umordnung einer Reihe kommen zwar genau die gleichen Summanden vor, es ändert sich aber die Folge der Partialsummen und damit eventuell auch das Konvergenzverhalten.

Aufgabe

Zeige, dass bei einer reellen Folge die Änderung von endlich vielen Folgengliedern weder die Konvergenz noch den Grenzwert ändert, und dass bei Reihen die Änderung von endlich vielen Reihengliedern zwar die Konvergenz nicht ändert, wohl aber die Summe.


Aufgabe

In einer Studenten-WG bereitet Studi 1 Kaffee zu, und füllt die Menge Kaffee in den Kaffeefilter. Dies sieht entsetzt Studi 2 und sagt: „Willst Du, dass wir alle schon total wach werden?“ und nimmt die Kaffeemenge wieder aus dem Filter heraus. Danach kommt Studi 3 und sagt: „Bin ich hier in einer Weicheier-WG gelandet?“ und kippt wieder eine Kaffeemenge dazu. So geht es unendlich weiter, wobei sich Kaffeeherausnehmer und Kaffeenachfüller abwechseln. Wie kann man charakterisieren, ob die Kaffeemenge im Filter konvergiert?


Aufgabe

Nachdem der Kaffee am Vortag für die Befürworter eines starken Kaffees zu schwach geworden ist, entwickeln sie eine neue Strategie: Sie wollen etwas früher aufstehen, so dass am Tagesanfang und zwischen je zwei Kaffeereduzierern immer zwei Kaffeeauffüller zum Zuge kommen. Dabei bleibt die interne Reihenfolge der beiden Lager als auch die hinzuzufügende bzw. wegzunehmende Kaffeemenge einer Person unverändert. Können sie mit dieser Strategie den Kaffee stärker machen, beispielsweise bei ?


Aufgabe *

Wir betrachten die alternierende Reihe der Stammbrüche mit

also

die bekanntlich konvergiert.

a) Zeige, dass die umgeordnete Reihe

konvergiert.

b) Man gebe eine Umordnung der Reihe an, die divergiert.


Aufgabe

Es sei eine absolut konvergente reelle Reihe. Zeige, dass dann auch jede Umordnung der Reihe gegen den gleichen Grenzwert konvergiert.


Aufgabe

Berechne die Reihe


Aufgabe *

Berechne die Summe


Aufgabe

Zwei Personen, und , sitzen in der Kneipe. will nach Hause gehen, aber will noch ein Bier trinken. „Na gut, dann trinken wir eben noch ein Bier, das ist aber das allerletzte“ sagt . Danach möchte immer noch Bier, aber da das vorhergehende Bier definitiv das letzte war, einigen sie sich auf ein allerletztes halbes Bier. Danach trinken sie noch ein allerletztes Viertelbier, danach noch ein allerletztes Achtelbier, u.s.w. Wie viel „allerletztes Bier“ trinken sie insgesamt?


Aufgabe

Zeige .


Aufgabe *

Sei . Bestimme und beweise eine Formel für die Reihe


Aufgabe

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

  1. ,
  2. ,
  3. .




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Summe


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  , . Eine Ziffernfolge, die durch

(wobei ist) gegeben ist, definiert eine reelle Reihe[1]

Zeige, dass eine solche Reihe gegen eine eindeutig bestimmte nichtnegative reelle Zahl konvergiert.


Aufgabe (4 Punkte)

In einen Klärteich mit einem Fassungsvermögen von werden zu Beginn eines jeden Tages Wasser eingelassen, das einen bestimmten Schadstoff in einer Volumen-Konzentration von enthält und vollständig mit dem vorhandenen Wasser vermischt. Im Laufe eines Tages reduziert sich durch biologische Reaktion die vorhandene Schadstoffmenge jeweils um . Gegen Ende eines Tages werden dann Wasser aus dem Klärteich abgepumpt. Welche Schadstoffkonzentration stellt sich auf Dauer bei dem abgepumptem Wasser ein, wenn am Anfang der Teich vollständig mit klarem Wasser gefüllt war?


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.


龜-bronze.svg


Aufgabe (5 Punkte)

Die Situation im Schildkröten-Paradoxon von Zenon von Elea ist folgendermaßen: Eine langsame Schildkröte (mit der Kriechgeschwindigkeit ) hat einen Vorsprung gegenüber dem schnelleren Achilles (mit der Geschwindigkeit und dem Startpunkt ). Sie starten gleichzeitig. Achilles kann die Schildkröte nicht einholen: Wenn er beim Ausgangspunkt der Schildkröte ankommt, so ist die Schildkröte nicht mehr dort, sondern ein Stück weiter, sagen wir an der Stelle . Wenn Achilles an der Stelle ankommt, so ist die Schildkröte wieder ein Stück weiter, an der Stelle , u.s.w.

Berechne die Folgenglieder , die zugehörigen Zeitpunkte , sowie die jeweiligen Grenzwerte. Vergleiche diese Grenzwerte mit den direkt berechneten Überholungsdaten.




Fußnoten
  1. Hier läuft also der Index in die umgekehrte Richtung.


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