Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Vorlesung 10

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Stetige Funktionen

Den Abstand zwischen zwei reellen Zahlen und bezeichnen wir mit .

Bei einer Funktion

kann man sich fragen, inwiefern der Abstand in der Wertemenge durch den Abstand in der Definitionsmenge kontrollierbar ist. Sei und der Bildpunkt. Man möchte, dass für Punkte , die „nahe“ an sind, auch die Bildpunkte „nahe“ an sind. Schon lineare Funktionen mit unterschiedlichen Steigungen zeigen, dass die „Nähe“ im Bildbereich nicht mit der „Nähe“ im Definitionsbereich direkt verglichen weden kann. Die Zielsetzung ist vielmehr (im Sinne des in der siebten Vorlesung erwähnten Approximationsprinzip), dass zu einer gewünschten Genauigkeit im Bildbereich überhaupt eine Ausgangsgenauigkeit gefunden werden kann, die sichert, dass die Funktionswerte innerhalb der gewünschten Genauigkeit beieinander liegen.

Um diese intuitive Vorstellung zu präzisieren, sei ein vorgegeben. Dieses repräsentiert eine „gewünschte Zielgenauigkeit“. Die Frage ist dann, ob man ein finden kann (eine „Startgenauigkeit“) mit der Eigenschaft, dass für alle mit die Beziehung gilt. Dies führt zum Begriff der stetigen Abbildung.


Definition  

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.

Bei sollte man an den Definitionsbereich der Funktion denken. Typische Situationen sind, dass ganz ist, oder ein Intervall, oder ohne endlich viele Punkte und Ähnliches. Statt mit den reellen Zahlen und kann man genauso gut mit Stammbrüchen und arbeiten.


Beispiel  

Eine konstante Funktion

ist stetig. Zu jedem vorgegebenen kann man hier ein beliebiges wählen, da ja ohnehin

gilt.

Die Identität

ist ebenfalls stetig. Zu jedem vorgegebenen kann man hier wählen, was zu der Tautologie führt: Wenn , so ist


Heaviside.svg

Beispiel  

Wir betrachten die Funktion

mit

Diese Funktion ist im Nullpunkt nicht stetig. Für und jedes beliebige positive gibt es nämlich negative Zahlen mit . Für diese ist aber .


Nicht jede stetige Funktion kann man zeichnen, auch nicht nach beliebiger Vergrößerung. Gezeigt wird eine Approximation einer Weierstraß-Funktion, die stetig ist, aber nirgendwo differenzierbar. Bei einer stetigen Funktion kann man zwar die Größe der Schwankungen im Bildbereich durch Einschränkungen im Definitionsbereich kontrollieren, die Anzahl der Schwankungen (die Anzahl der Richtungswechsel des Graphen) kann man aber nicht kontrollieren.

Die folgende Aussage bringt die Stetigkeit mit konvergenten Folgen in Verbindung.



Lemma  

Es sei eine Teilmenge,

eine Funktion und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist stetig im Punkt .
  2. Für jede konvergente Folge in mit ist auch die Bildfolge konvergent mit dem Grenzwert .

Beweis  

Sei (1) erfüllt und sei eine Folge in , die gegen konvergiert. Wir müssen zeigen, dass

ist. Dazu sei vorgegeben. Wegen (1) gibt es ein mit der angegebenen Abschätzungseigenschaft und wegen der Konvergenz von gegen gibt es eine natürliche Zahl derart, dass für alle die Abschätzung

gilt. Nach der Wahl von ist dann

so dass die Bildfolge gegen konvergiert.
Sei (2) erfüllt.  Wir nehmen an, dass nicht stetig ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle Elemente gibt, deren Abstand zu maximal gleich ist, deren Wert unter der Abbildung aber zu einen Abstand besitzt, der größer als ist. Dies gilt dann insbesondere für die Stammbrüche , . D.h. für jede natürliche Zahl gibt es ein mit

Diese so konstruierte Folge konvergiert gegen , aber die Bildfolge konvergiert nicht gegen , da der Abstand der Bildfolgenglieder zu zumindest ist. Dies ist ein Widerspruch zu (2).




Rechenregeln für stetige Funktionen



Lemma  

Es seien und Teilmengen und

und

Funktionen mit . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Wenn in und in stetig sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung in stetig.
  2. Wenn und stetig sind, so ist auch stetig.

Beweis  

Die Aussage (1) ergibt sich direkt aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit. Daraus folgt auch (2).




Lemma  

Es sei und seien

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

stetig. Für eine Teilmenge , auf der keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

stetig.

Beweis  

Dies ergibt sich aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit und Lemma 8.1.



Korollar  

Polynomfunktionen

sind stetig.

Beweis  

Aufgrund von Beispiel 10.2 und Lemma 10.6 sind für jedes die Potenzen

stetig. Daher sind auch für jedes die Funktionen

stetig und wiederum aufgrund von Lemma 10.6 sind auch alle Funktionen

stetig.


Rationale Funktionen sind auf ihrer Definitionsmenge stetig.



Korollar  

Es seien Polynome und es sei .

Dann ist die rationale Funktion

stetig.

Beweis  

Dies folgt aus Korollar 10.7 und Lemma 10.6.




Grenzwerte von Funktionen

Funktionen sind häufig in bestimmten Punkten nicht definiert, beispielsweise, weil die verwendeten Funktionsterme nicht definiert sind. Es macht aber einen Unterschied, ob nur die gewählte Funktionsvorschrift in diesem Punkt nicht definiert ist, es aber eine sinnvolle (stetige) Fortsetzung gibt, oder ob die Funktion selbst prinzipiell nicht sinnvoll fortsetzbar ist (weil sie beispielsweise einen Pol oder ein chaotischeres Verhalten besitzt). Die folgende Begriffsbildung wird vor allem für die Definition der Differenzierbarkeit wichtig werden (besitzen die Differenzenquotienten einen sinnvollen Limes, der dann der Differentialquotient heißt).


Definition  

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei

eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, auch die Bildfolge gegen konvergiert. In diesem Fall schreibt man

Dieser Begriff ist eigentlich nur dann sinnvoll, wenn es überhaupt Folgen in gibt, die gegen konvergieren. Eine typische Situation ist die folgende: Es sei ein Intervall, sei ein Punkt darin und es sei . Die Funktion sei auf , aber nicht im Punkt definiert, und es geht um die Frage, inwiefern man zu einer sinnvollen Funktion auf ganz fortsetzen kann. Dabei soll durch bestimmt sein.



Lemma  

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es seien und Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren. Dann gelten folgende Beziehungen.

  1. Die Summe besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  2. Das Produkt besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  3. Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert in , und zwar ist

Beweis  

Dies ergibt sich direkt aus Lemma 8.1.



Lemma

Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei eine Funktion und . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Es ist
  2. Für jedes gibt es ein derart, dass für alle mit die Abschätzung gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe 10.23.


Für eine stetige Funktion folgt daraus, dass sie sich zu einer stetigen Funktion (durch ) genau dann fortsetzen lässt, wenn der Limes von in gleich ist.


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