Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 11

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

die genau zwei Werte annimmt.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion, die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass konstant ist.


Aufgabe *

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von ist?


Aufgabe

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe *

Wir betrachten die Funktion

Bestimme, ausgehend vom Intervall , mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge , in dem eine Nullstelle von liegen muss.


Aufgabe

Gegeben sei die Abbildung mit

Zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass jeden Wert an mindestens zwei Stellen annimmt.


Aufgabe

Es sei eine stetige Funktion und es sei „nahe“ an einer Nullstelle von . Ist dann nahe bei ?


Aufgabe *

Fridolin sagt:

„Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion

gilt und . Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen und geben, also eine Zahl mit . Es ist doch aber stets .“

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?


Aufgabe *

Es sei eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es gibt ein Polynom , , mit ganzzahligen Koeffizienten und mit .
  2. Es gibt ein Polynom , , mit .
  3. Es gibt ein normiertes Polynom mit .


Aufgabe *

Es seien

stetige Funktionen mit und . Zeige, dass es einen Punkt mit gibt.


Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.

Es sei eine Menge und

eine Abbildung. Ein Element mit heißt Fixpunkt der Abbildung.

Aufgabe

Bestimme die Fixpunkte der Abbildung


Aufgabe

Es sei ein Polynom vom Grad , . Zeige, dass maximal Fixpunkte besitzt.


Aufgabe

Es sei eine stetige Funktion und es gebe mit

und

Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.


Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines offenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht offen sein muss.


Aufgabe

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.


Aufgabe

Es sei ein reelles Intervall und

eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass streng wachsend oder streng fallend ist.


Aufgabe

Zeige, dass durch

eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung

gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.


Aufgabe *

  1. Skizziere die Graphen der Funktionen

    und

  2. Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen.


Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist.


Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.


Aufgabe

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl eine streng wachsende stetige Funktion

derart gibt, dass die einzige Nullstelle von ist und dass für jede rationale Zahl auch rational ist.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion. Zeige, dass nicht surjektiv ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten Intervalls und einer stetigen Funktion

derart, dass das Bild von beschränkt ist, die Funktion aber kein Maximum annimmt.


Aufgabe

Es sei

eine stetige Funktion auf einem reellen Intervall. Die Funktion habe in den Punkten , , lokale Maxima. Zeige, dass die Funktion zwischen und mindestens ein lokales Minimum besitzt.


Aufgabe

Bestimme direkt, für welche die Potenzfunktionen

ein Extremum im Nullpunkt besitzen.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Finde für die Funktion

eine Nullstelle im Intervall mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal .


Aufgabe (3 Punkte)

Es sei eine stetige Funktion mit der Eigenschaft, dass das Bild von sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass surjektiv ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.


Aufgabe (5 Punkte)

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das eine reelle Nullstelle zu einem Polynom vom Grad (also ) bis auf eine vorgegebene Genauigkeit von berechnet.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die reelle Zahlen enthalten können.
    • Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann einen Speicherinhalt halbieren und in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.
    • Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.
    • Es gibt einen Haltebefehl.

Die Anfangskonfiguration sei

mit , (die Koeffizienten des Polynoms, die gewünschte Genauigkeit und die stehen also in den ersten Speichern). Das Programm soll die Intervallgrenzen für eine Nullstelle mit der gewünschten Genauigkeit in einem Antwortsatz ausdrucken und anschließend anhalten.

Tipp: Man schreibe zuerst ein Teilprogramm, das das Polynom an einer Stelle berechnet. Die ist nicht wirklich wichtig, kann aber eingesetzt werden, um ein sinnvolles Anfangsintervall zu finden. Die Maschine kann nicht subtrahieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei

eine stetige Funktion des Intervalls in sich. Zeige, dass einen Fixpunkt besitzt.


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme das Minimum der Funktion


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