Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 18

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Treppenintegral über ${}[-3,+4]$ zur Treppenfunktion, die durch

${}f(t)={\begin{cases}5,{\text{ falls }}-3\leq t\leq -2\,,\\-3,{\text{ falls }}-2<t\leq -1\,,\\{\frac {3}{7}},{\text{ falls }}-1<t<-{\frac {1}{2}}\,,\\13,{\text{ falls }}t=-{\frac {1}{2}}\,,\\\pi ,{\text{ falls }}-{\frac {1}{2}}<t<e\,,\\0,{\text{ falls }}e\leq t\leq 3\,,\\1,{\text{ falls }}3<t\leq 4\,,\end{cases}}\,$

gegeben ist.

Aufgabe *

a) Unterteile das Intervall ${}[-4,5]$ in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf ${}[-4,5]$, die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte ${}2$ und ${}-1$ annimmt.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion ${}f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch

1. ${}f+g$,
2. ${}f\cdot g$,
3. ${}{\max {\left(f,g\right)}}$,
4. ${}{\min {\left(f,g\right)}}$,

Treppenfunktionen sind.

Aufgabe

Es sei

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

eine Treppenfunktion und

$g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ ebenfalls eine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

$f\colon [a,b]\longrightarrow [c,d]$

und einer Treppenfunktion

$g\colon [c,d]\longrightarrow \mathbb {R}$

derart, dass die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ keine Treppenfunktion ist.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{0}^{1}t\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{1}^{2}t^{3}\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe *

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)

${}\int _{0}^{1}e^{x}dx=e-1\,.$

Aufgabe *

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen ${}{\left(s_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}s_{n}\leq f$ und eine Folge von Treppenfunktionen ${}{\left(t_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ mit ${}t_{n}\geq f$. Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann ${}f$ Riemann-integrierbar ist und dass

${}\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}s_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{a}^{b}t_{n}(x)\,dx\,$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}I$ ein beschränktes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine nach unten beschränkte stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das Supremum über alle Treppenintegrale zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen (also das Unterintegral) existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

1. Die Funktion ${}f$ ist Riemann-integrierbar.
2. Es gibt eine Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ derart, dass die einzelnen Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar sind.
3. Für jede Unterteilung ${}a=a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}=b$ sind die Einschränkungen ${}f_{i}:=f|_{[a_{i-1},a_{i}]}$ Riemann-integrierbar.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]\subseteq \mathbb {R}$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Ist ${}m\leq f(x)\leq M$ für alle ${}x\in I$, so ist ${}m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq M(b-a)$.
2. Ist ${}f(x)\leq g(x)$ für alle ${}x\in I$, so ist ${}\int _{a}^{b}f(t)\,dt\leq \int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
3. Es ist ${}\int _{a}^{b}f(t)+g(t)\,dt=\int _{a}^{b}f(t)\,dt+\int _{a}^{b}g(t)\,dt$.
4. Für ${}c\in \mathbb {R}$ ist ${}\int _{a}^{b}(cf)(t)\,dt=c\int _{a}^{b}f(t)\,dt$.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass

$\vert {\int _{a}^{b}f(t)\,dt}\vert \leq \int _{a}^{b}\vert {f(t)}\vert \,dt$

gilt.

Aufgabe *

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${}{\max {\left(f,g\right)}}$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgabe

Es sei ${}I=[a,b]$ ein kompaktes Intervall und es seien ${}f,g\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch ${}fg$ Riemann-integrierbar ist.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien

$f,g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch ${}f+g$ eine Treppenfunktion ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das bestimmte Integral

$\int _{a}^{b}t^{2}\,dt$

in Abhängigkeit von ${}a$ und ${}b$ explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{-2}^{7}-t^{3}+3t^{2}-2t+5\,dt$

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

$]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{x}},$

weder das Unterintegral noch das Oberintegral existiert.

Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

$]0,1]\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {1}{\sqrt {x}}},$

das Unterintegral existiert, aber nicht das Oberintegral.

Tipp: Verwende Aufgabe 9.6.

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}I$ ein kompaktes Intervall und sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine monotone Funktion. Zeige, dass ${}f$ Riemann-integrierbar ist.