Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 18

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme das Treppenintegral über zur Treppenfunktion, die durch

gegeben ist.


Aufgabe *

a) Unterteile das Intervall in sechs gleichgroße Teilintervalle.

b) Bestimme das Treppenintegral derjenigen Treppenfunktion auf , die auf der in a) konstruierten Unterteilung abwechselnd die Werte und annimmt.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für eine Funktion an, die nur endlich viele Werte annimmt, aber keine Treppenfunktion ist.


Aufgabe

Es seien

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. ,

Treppenfunktionen sind.


Aufgabe

Es sei

eine Treppenfunktion und

eine Funktion. Zeige, dass die Hintereinanderschaltung ebenfalls eine Treppenfunktion ist.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel einer stetigen Funktion

und einer Treppenfunktion

derart, dass die Hintereinanderschaltung keine Treppenfunktion ist.


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe *

Zeige (ohne Stammfunktionen zu verwenden)


Aufgabe

Sei ein kompaktes Intervall und sei

eine Funktion. Es gebe eine Folge von Treppenfunktionen  mit und eine Folge von Treppenfunktionen  mit . Es sei vorausgesetzt, dass die beiden zugehörigen Folgen der Treppenintegrale konvergieren und dass ihre Grenzwerte übereinstimmen. Zeige, dass dann Riemann-integrierbar ist und dass

gilt.


Aufgabe *

Es sei ein beschränktes Intervall und eine nach unten beschränkte stetige Funktion. Es sei vorausgesetzt, dass das Supremum über alle Treppenintegrale zu äquidistanten unteren Treppenfunktionen existiert. Zeige, dass dann auch das Supremum zu allen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen (also das Unterintegral) existiert und mit dem zuerst genannten Supremum übereinstimmt.


Aufgabe

Sei ein kompaktes Intervall und sei

eine Funktion. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. Die Funktion ist Riemann-integrierbar.
  2. Es gibt eine Unterteilung derart, dass die einzelnen Einschränkungen Riemann-integrierbar sind.
  3. Für jede Unterteilung sind die Einschränkungen Riemann-integrierbar.


Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Beweise die folgenden Aussagen.

  1. Ist für alle , so ist .
  2. Ist für alle , so ist .
  3. Es ist .
  4. Für ist .


Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und eine Riemann-integrierbare Funktion. Zeige, dass

gilt.


Aufgabe *

Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.


Aufgabe

Es sei ein kompaktes Intervall und es seien zwei Riemann-integrierbare Funktionen. Zeige, dass auch Riemann-integrierbar ist.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien

zwei Treppenfunktionen. Zeige, dass dann auch eine Treppenfunktion ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme das bestimmte Integral

in Abhängigkeit von und explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne das bestimmte Integral

explizit über obere und untere Treppenfunktionen.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

weder das Unterintegral noch das Oberintegral existiert.


Aufgabe (6 Punkte)

Zeige, dass für die Funktion

das Unterintegral existiert, aber nicht das Oberintegral.

Tipp: Verwende Aufgabe 9.6.

Aufgabe (5 Punkte)

Sei ein kompaktes Intervall und sei

eine monotone Funktion. Zeige, dass Riemann-integrierbar ist.



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