Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 26

Übungsaufgaben

Aufgabe

Bestimme explizit den Spaltenrang und den Zeilenrang der Matrix

${\begin{pmatrix}3&2&6\\4&1&5\\6&-1&3\end{pmatrix}}.$

Beschreibe lineare Abhängigkeiten (falls solche existieren) zwischen den Zeilen als auch zwischen den Spalten der Matrix.

Aufgabe

Zeige, dass sich bei elementaren Zeilenumformungen der Spaltenrang nicht ändert.

Aufgabe

Bestimme die Determinante von ebenen Drehungen.

Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1+3{\mathrm {i} }&5-{\mathrm {i} }\\3-2{\mathrm {i} }&4+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1&3&5\\2&1&3\\8&7&4\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1&3&9&0\\-1&0&5&2\\0&1&3&6\\-3&0&0&7\end{pmatrix}}.$

Aufgabe

Zeige durch Induktion, dass bei einer oberen Dreiecksmatrix die Determinante gleich dem Produkt der Diagonalelemente ist.

Aufgabe

Überprüfe die Multilinearität und die Eigenschaft, alternierend zu sein, direkt für die Determinante von ${}3\times 3$- Matrizen.

Aufgabe

Es sei ${}M$ eine quadratische Matrix, die man als

${}M={\begin{pmatrix}A&B\\0&D\end{pmatrix}}\,$

mit quadratischen Matrizen ${}A$ und ${}D$ schreiben kann. Zeige

${}\det M=\det A\cdot \det D\,.$

Aufgabe *

Bestimme, für welche ${}x\in {\mathbb {C} }$ die Matrix

${\begin{pmatrix}x^{2}+x&-x\\-x^{3}+2x^{2}+5x-1&x^{2}-x\end{pmatrix}}$

invertierbar ist.

Aufgabe *

Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren ${}(x_{1},y_{1})$ und ${}(x_{2},y_{2})$ die Determinante der durch die Vektoren definierten ${}2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms (bis auf das Vorzeichen) übereinstimmt.

${}\,$

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Zeige, dass die Determinante

$\operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K,\,M\longmapsto \det M,$

für beliebiges ${}k\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und beliebige ${}n-1$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{k-1},v_{k+1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}$, für ${}u\in K^{n}$ und für ${}s\in K$ die Gleichheit

${}\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\su\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}=s\det {\begin{pmatrix}v_{1}\\\vdots \\v_{k-1}\\u\\v_{k+1}\\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}\,$

gilt.

Aufgabe

Zeige, dass man die Determinante nach jeder Zeile und nach jeder Spalte entwickeln kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n,p\in \mathbb {N}$. Zeige, dass das Transponieren von Matrizen folgende Eigenschaften besitzt (dabei seien ${}A,B\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$, ${}C\in \operatorname {Mat} _{n\times p}(K)$ und ${}s\in K$).

1. ${}{({A^{\text{tr}}})^{\text{tr}}}=A$.
2. ${}{(A+B)^{\text{tr}}}={A^{\text{tr}}}+{B^{\text{tr}}}$.
3. ${}{(sA)^{\text{tr}}}=s\cdot {A^{\text{tr}}}$.
4. ${}{(A\circ C)^{\text{tr}}}={C^{\text{tr}}}\circ {A^{\text{tr}}}$.

Aufgabe

Man berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}0&2&7\\1&4&5\\6&0&3\end{pmatrix}},$

indem man die Matrix nach allen Spalten und nach allen Zeilen entwickle.

Aufgabe

Berechne die Determinanten aller ${}3\times 3$-Matrizen, bei denen in jeder Spalte und in jeder Zeile genau einmal ${}1$ und zweimal ${}0$ steht.

Aufgabe

Es sei ${}z\in {\mathbb {C} }$ und

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto zw,$

die zugehörige Multiplikation. Bestimme die Determinante dieser Abbildung, wenn man sie als reell-lineare Abbildung ${}\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ auffasst.

Die nächsten Aufgaben verwenden die folgende Definition.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Zu ${}a\in K$ heißt die lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow V,\,v\longmapsto av,$

die Streckung (oder Homothetie) zum Streckungsfaktor ${}a$.

Aufgabe

Was ist die Determinante einer Streckung auf einem endlichdimensionalen ${}K$- Vektorraum ${}V$?

Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für zwei Streckungen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum.

Aufgabe

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}5&7\\2&-4\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}-3&1\\6&5\end{pmatrix}}.$

Aufgabe *

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}1&4&1\\1&2&0\\0&1&1\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}2&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}}.$

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$ der Dimension ${}n$ bzw. ${}m$. Es sei

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{m\times n}(K)$ beschrieben werde. Zeige, dass

${}\operatorname {rang} \,\varphi =\operatorname {rang} \,M\,$

gilt.

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

${\begin{pmatrix}1+{\mathrm {i} }&3-2{\mathrm {i} }&5\\{\mathrm {i} }&1&3-{\mathrm {i} }\\2{\mathrm {i} }&-4-{\mathrm {i} }&2+{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Determinante der Matrix

$A={\begin{pmatrix}2&1&0&-2\\1&3&3&-1\\3&2&4&-3\\2&-2&2&3\end{pmatrix}}.$

Aufgabe (4 Punkte)

Bestätige den Determinantenmultiplikationssatz für die beiden Matrizen

$A={\begin{pmatrix}3&4&7\\2&0&-1\\1&3&4\end{pmatrix}}\,\,{\text{ und }}\,\,B={\begin{pmatrix}-2&1&0\\2&3&5\\2&0&-3\end{pmatrix}}.$