Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Vorlesung 23

Die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems in $n$ Variablen über einem Körper $K$ ist ein Untervektorraum des $K^{n}$ . Häufig wird dieser Lösungsraum durch die Menge aller „Linearkombinationen“ von endlich vielen (besonders einfachen) Lösungen beschrieben. In dieser Vorlesung entwickeln wir die dazu notwendigen Begriffe.

Erzeugendensysteme

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es sei $v_{1}, \dots, v_{n}$ eine Familie von Vektoren in $V$ . Dann heißt der Vektor

s_{1} v_{1} + s_{2} v_{2} + \dots + s_{n} v_{n} mit s_{i} \in K

eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel $(s_{1}, \dots, s_{n})$ ).

Zwei unterschiedliche Koeffiziententupel können denselben Vektor definieren.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann heißt eine Familie $v_{i} \in V$ , $i \in I$ , ein Erzeugendensystem von $V$ , wenn man jeden Vektor $v \in V$ als^[1]

v = \sum_{j \in J} s_{j} v_{j}

mit einer endlichen Teilfamilie $J \subseteq I$ und mit $s_{j} \in K$ darstellen kann.

Im $K^{n}$ bilden die Standardvektoren $e_{i}$ , $1 \leq i \leq n$ , ein Erzeugendensystem. Im Polynomring $K [X]$ bilden die Potenzen $X^{n}$ , $n \in ℕ$ , ein (unendliches) Erzeugendensystem.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Zu einer Familie $v_{i}$ , $i \in I$ , setzt man

⟨ v_{i}, i \in I ⟩ = {\sum_{i \in J} s_{i} v_{i} ∣ s_{i} \in K, J \subseteq I endliche Teilmenge}

und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.

Der von der leeren Menge erzeugte Untervektorraum ist der Nullraum.^[2] Dieser wird ebenso von der $0$ erzeugt. Zu einem einzigen Vektor $v$ besteht der aufgespannte Raum aus $K v = {s v ∣ s \in K}$ . Bei $v \neq 0$ ist dies eine Gerade, was wir im Rahmen der Dimensionstheorie noch präzisieren werden. Bei zwei Vektoren $v$ und $w$ hängt die „Gestalt“ des aufgespannten Raumes davon ab, wie die beiden Vektoren sich zueinander verhalten. Wenn sie beide auf einer Geraden liegen, d.h. wenn $w = s v$ gilt, so ist $w$ überflüssig und der von den beiden Vektoren erzeugte Untervektorraum stimmt mit dem von $v$ erzeugten Untervektorraum überein. Wenn dies nicht der Fall ist (und $v$ und $w$ nicht $0$ sind), so erzeugen die beiden Vektoren eine „Ebene“.

Wir fassen einige einfache Eigenschaften für Erzeugendensysteme und Unterräume zusammen.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann gelten folgende Aussagen.

Zu einer Familie $v_{i}$ , $i \in I$ , von Elementen in $V$ ist der erzeugte Untervektorraum ein Untervektorraum^[3] von $V$ .

Die Familie $v_{i}$ , $i \in I$ , ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$ , wenn
$⟨ v_{i}, i \in I ⟩ = V$

ist.

Beweis

Siehe Aufgabe 23.3.

◻

Lineare Unabhängigkeit

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren $v_{i}$ , $i \in I$ , (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge $I$ ) linear unabhängig, wenn eine Gleichung

\sum_{i \in I} s_{i} v_{i} = 0 mit s_{i} \in K

nur bei $s_{i} = 0$ für alle $i$ möglich ist.

Wenn eine Familie nicht linear unabhängig ist, so nennt man sie linear abhängig. Man nennt übrigens eine Linearkombination $\sum_{i \in I} s_{i} v_{i} = 0$ eine Darstellung des Nullvektors. Sie heißt die triviale Darstellung, wenn alle Koeffizienten $s_{i}$ gleich $0$ sind, andernfalls, wenn also mindestens ein Koeffizient nicht $0$ ist, spricht man von einer nichttrivialen Darstellung der Null. Eine Familie von Vektoren ist genau dann linear unabhängig, wenn man mit ihnen nur auf die triviale Art den Nullvektor darstellen kann. Dies ist auch äquivalent dazu, dass man keinen Vektor aus der Familie als Linearkombination der anderen ausdrücken kann.

Beispiel

Die Standardvektoren im $K^{n}$ sind linear unabhängig. Eine Darstellung

\sum_{i = 1}^{n} s_{i} e_{i} = 0

bedeutet ja einfach

s_{1} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) + s_{2} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}) + \dots + s_{n} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}),

woraus sich aus der $i$ -ten Zeile direkt $s_{i} = 0$ ergibt.

Beispiel

Die drei Vektoren

(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) und (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 9 \end{matrix})

sind linear abhängig. Es ist nämlich

4 (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) + 3 (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) - 3 (\begin{matrix} 4 \\ 8 \\ 9 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Lemma

Es sei $K$ ein Körper, $V$ ein $K$ -Vektorraum und $v_{i}$ , $i \in I$ , eine Familie von Vektoren in $V$ . Dann gelten folgende Aussagen.

Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge $J \subseteq I$ die Familie $v_{i}$ , $i \in J$ , linear unabhängig.

Die leere Familie ist linear unabhängig.

Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.

Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.

Ein einzelner Vektor $v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn $v \neq 0$ ist.

Zwei Vektoren $v$ und $u$ sind genau dann linear unabhängig, wenn weder $u$ ein skalares Vielfaches von $v$ ist noch umgekehrt.

Beweis

Siehe Aufgabe 23.10.

◻

Bemerkung

Die Vektoren $v_{1} = (\begin{matrix} a_{11} \\ ⋮ \\ a_{m 1} \end{matrix}), \dots, v_{n} = (\begin{matrix} a_{1 n} \\ ⋮ \\ a_{m n} \end{matrix}) \in K^{m}$ sind genau dann linear abhängig, wenn das homogene lineare Gleichungssystem

\begin{matrix} a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + \dots + a_{1 n} x_{n} & = & 0 \\ a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + \dots + a_{2 n} x_{n} & = & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + \dots + a_{m n} x_{n} & = & 0 \end{matrix}

eine nichttriviale (d.h. von $0$ verschiedene) Lösung besitzt.

Basen

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem $v_{i} \in V$ , $i \in I$ , von $V$ eine Basis von $V$ .

Beispiel

Die Standardvektoren im $K^{n}$ bilden eine Basis. Die lineare Unabhängigkeit wurde in Beispiel 23.6 gezeigt. Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, sei

v = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{n} \end{matrix}) \in K^{n}

ein beliebiger Vektor. Dann ist aber direkt

v = \sum_{i = 1}^{n} b_{i} e_{i} .

Also liegt eine Basis vor, die man die Standardbasis des $K^{n}$ nennt.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es sei $v_{1}, \dots, v_{n} \in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

Die Familie ist eine Basis von $V$ .

Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor $v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.

Für jeden Vektor $u \in V$ gibt es genau eine Darstellung
$u = s_{1} v_{1} + \dots + s_{n} v_{n} .$

Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Wir führen einen Ringschluss durch. $(1) \Rightarrow (2)$ . Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir $v_{1}$ , aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also $v_{2}, \dots, v_{n}$ kein Erzeugendensystem mehr ist. Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere $v_{1}$ als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

v_{1} = \sum_{i = 2}^{n} s_{i} v_{i} .

Dann ist aber

v_{1} - \sum_{i = 2}^{n} s_{i} v_{i} = 0

eine nichttriviale Darstellung der $0$ , im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. $(2) \Rightarrow (3)$ . Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, sodass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt. Angenommen, es gibt für ein $u \in V$ eine mehrfache Darstellung, d.h.

u = \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i} = \sum_{i = 1}^{n} t_{i} v_{i},

wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei $s_{1} \neq t_{1}$ . Dann erhält man die Beziehung

(s_{1} - t_{1}) v_{1} = \sum_{i = 2}^{n} (t_{i} - s_{i}) v_{i}

Wegen $s_{1} - t_{1} \neq 0$ kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von $v_{1}$ durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe 23.5 ist auch die Familie ohne $v_{1}$ ein Erzeugendensystem von $V$ , im Widerspruch zur Minimalität. $(3) \Rightarrow (4)$ . Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig. Nimmt man einen Vektor $u$ hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung

u = \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i}

und daher ist

0 = u - \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i}

eine nichttriviale Darstellung der $0$ , sodass die verlängerte Familie $u, v_{1}, \dots, v_{n}$ nicht linear unabhängig ist. $(4) \Rightarrow (1)$ . Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu $u \in V$ . Nach Voraussetzung ist die Familie $u, v_{1}, \dots, v_{n}$ nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung

0 = s u + \sum_{i = 1}^{n} s_{i} v_{i} .

Dabei ist $s \neq 0$ , da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der $0$ allein mit den linear unabhängigen Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ wäre. Daher können wir

u = - \sum_{i = 1}^{n} \frac{s_{i}}{s} v_{i}

schreiben, sodass eine Darstellung von $u$ möglich ist.

◻

Bemerkung

Es sei eine Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ eines $K$ -Vektorraums $V$ gegeben. Aufgrund von Satz 23.12 (3) bedeutet dies, dass es für jeden Vektor $u \in V$ eine eindeutig bestimmte Darstellung (eine Linearkombination)

u = s_{1} v_{1} + s_{2} v_{2} + \dots + s_{n} v_{n}

gibt. Die dabei eindeutig bestimmten Elemente $s_{i} \in K$ (Skalare) heißen die Koordinaten von $u$ bezüglich der gegebenen Basis. Bei einer gegebenen Basis entsprechen sich also die Vektoren aus $V$ und die Koordinatentupel $(s_{1}, s_{2}, \dots, s_{n}) \in K^{n}$ . Man sagt, dass eine Basis ein lineares Koordinatensystem festlegt.^[4]

Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzt $V$ eine endliche Basis.

Beweis

Es sei $v_{i}$ , $i \in I$ , ein Erzeugendensystem von $V$ mit einer endlichen Indexmenge $I$ . Wir wollen mit der Charakterisierung aus Satz 23.12 (2) argumentieren. Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein $k \in I$ derart, dass die um $v_{k}$ reduzierte Familie, also $v_{i}$ , $i \in I ∖ {k}$ , ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge $J \subseteq I$ derart, dass $v_{i}$ , $i \in J$ , ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.

◻

Dimensionstheorie

Ein endlich erzeugter Vektorraum hat im Allgemeinen ganz unterschiedliche Basen. Allerdings ist die Anzahl der Elemente in einer Basis stets konstant und hängt nur vom Vektorraum ab. Diese wichtige Eigenschaft werden wir jetzt formulieren und als Ausgangspunkt für die Definition der Dimension eines Vektorraums nehmen.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzen je zwei Basen von $V$ die gleiche Anzahl von Basisvektoren.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Es seien $𝔟 = b_{1}, \dots, b_{n}$ und $𝔲 = u_{1}, \dots, u_{k}$ zwei Basen von $V$ . Aufgrund des Basisaustauschsatzes, angewandt auf die Basis $𝔟$ und die linear unabhängige Familie $𝔲$ ergibt sich $k \leq n$ . Wendet man den Austauschsatz umgekehrt an, so folgt $n \leq k$ , also insgesamt $n = k$ .

◻

Dieser Satz erlaubt die folgende Definition.

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von $V$ die Dimension von $V$ , geschrieben

\dim_{K} (V) .

Man sagt auch, dass die Dimension aufgrund des vorstehenden Satzes wohldefiniert ist. Wenn ein Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, so setzt man ${dim}_{} (V) = \infty$ . Der Nullraum $0$ hat die Dimension $0$ . Einen eindimensionalen Vektorraum nennt man auch eine Gerade, einen zweidimensionalen Vektorraum eine Ebene, einen dreidimensionalen Vektorraum einen Raum (im engeren Sinn), wobei man andererseits auch jeden Vektorraum einen Raum nennt.

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $n \in ℕ$ .

Dann besitzt der Standardraum $K^{n}$ die Dimension $n$ .

Beweis

Die Standardbasis $e_{i}$ , $i = 1, \dots, n$ , besteht aus $n$ Vektoren, also ist die Dimension $n$ .

◻

Beispiel

Die komplexen Zahlen bilden einen zweidimensionalen reellen Vektorraum, eine Basis ist z.B. $1$ und $i$ .

Beispiel

Der Polynomring $R = K [X]$ über einem Körper $K$ ist kein endlichdimensionaler Vektorraum. Es ist zu zeigen, dass es kein endliches Erzeugendensystem des Polynomringes gibt. Betrachten wir $n$ Polynome $P_{1}, \dots, P_{n}$ . Es sei $d$ das Maximum der Grade dieser Polynome. Dann hat auch jede $K$ -Linearkombination $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} P_{i}$ maximal den Grad $d$ . Insbesondere können Polynome von einem größeren Grad nicht durch $P_{1}, \dots, P_{n}$ dargestellt werden, und diese endlich vielen Polynome sind kein Erzeugendensystem für alle Polynome.

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum. Es sei $U \subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann ist $U$ ebenfalls endlichdimensional und es gilt

$\dim_{K} (U) \leq \dim_{K} (V) .$

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Es sei $n = \dim_{K} (V)$ . Jede linear unabhängige Familie in $U$ ist auch linear unabhängig in $V$ . Daher kann es aufgrund des Basisaustauschsatzes in $U$ nur linear unabhängige Familien der Länge $\leq n$ geben. Es sei $k \leq n$ derart, dass es in $U$ eine linear unabhängige Familie mit $k$ Vektoren gibt, aber nicht mit $k + 1$ Vektoren. Es sei $𝔲 = u_{1}, \dots, u_{k}$ eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in $U$ und daher wegen Satz 23.12 eine Basis von $U$ .

◻

Korollar

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum mit endlicher Dimension $n = \dim_{K} (V)$ . Es seien $n$ Vektoren $v_{1}, \dots, v_{n}$ in $V$ gegeben.

Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

$v_{1}, \dots, v_{n}$ bilden eine Basis von $V$ .

$v_{1}, \dots, v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von $V$ .

$v_{1}, \dots, v_{n}$ sind linear unabhängig.

Beweis

Siehe Aufgabe 23.18.

◻

Beispiel

Es sei $K$ ein Körper. Man kann sich einfach einen Überblick über die Untervektorräume des $K^{n}$ verschaffen, als Dimension von Untervektorräumen kommt nach Korollar 23.20 nur $k$ mit $0 \leq k \leq n$ in Frage. Bei $n = 0$ gibt es nur den Nullraum selbst, bei $n = 1$ gibt es den Nullraum und $K$ selbst. Bei $n = 2$ gibt es den Nullraum, die gesamte Ebene $K^{2}$ , und die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt. Jede solche Gerade $G$ hat die Gestalt

G = K v = {s v ∣ s \in K}

mit einem von $0$ verschiedenen Vektor $v$ . Zwei von $0$ verschiedene Vektoren definieren genau dann die gleiche Gerade, wenn sie linear abhängig sind. Bei $n = 3$ gibt es den Nullraum, den Gesamtraum $K^{3}$ , die eindimensionalen Geraden durch den Nullpunkt und die zweidimensionalen Ebenen durch den Nullpunkt.

Der folgende Satz heißt Basisergänzungssatz.

Satz

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum der Dimension $n = \dim_{K} (V)$ . Es seien

u_{1}, \dots, u_{k}

linear unabhängige Vektoren in $V$ .

Dann gibt es Vektoren

$u_{k + 1}, \dots, u_{n}$

derart, dass

$u_{1}, \dots, u_{k}, u_{k + 1}, \dots, u_{n}$

eine Basis von $V$ bilden.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Es sei $b_{1}, \dots, b_{n}$ eine Basis von $V$ . Aufgrund des Austauschsatzes findet man $n - k$ Vektoren aus der Basis $𝔟$ , die zusammen mit den vorgegebenen $u_{1}, \dots, u_{k}$ eine Basis von $V$ bilden.

◻

Fußnoten

↑ Es bedeutet keinen Verständnisverlust, wenn man hier nur endliche Familien betrachtet. Das Summenzeichen über eine endliche Indexmenge bedeutet einfach, dass alle Elemente der Familie aufzusummieren sind.
↑ Dies kann man als Definition nehmen oder aber aus der Definition ableiten, wenn man die Konvention berücksichtigt, dass die leere Summe gleich $0$ ist.
↑ In der Bezeichnung „erzeugter Untervektorraum“ wurde diese Eigenschaft schon vorweg genommen.
↑ Lineare Koordinaten vermitteln also eine bijektive Beziehung zwischen Punkten und Zahlentupeln. Aufgrund der Linearität ist eine solche Bijektion mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich. In vielen anderen Kontexten spielen auch nichtlineare (oder krummlinige) Koordinaten eine wichtige Rolle. Auch diese setzen Raumpunkte mit Zahlentupeln in eine bijektive Verbindung. Wichtige nichtlineare Koordinaten sind u.A. Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten. Mathematische Probleme können häufig durch eine geeignete Wahl von Koordinaten vereinfacht werden, beispielsweise bei Volumenberechnungen.

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[1] Es bedeutet keinen Verständnisverlust, wenn man hier nur endliche Familien betrachtet. Das Summenzeichen über eine endliche Indexmenge bedeutet einfach, dass alle Elemente der Familie aufzusummieren sind.

[2] Dies kann man als Definition nehmen oder aber aus der Definition ableiten, wenn man die Konvention berücksichtigt, dass die leere Summe gleich $0$ ist.

[3] In der Bezeichnung „erzeugter Untervektorraum“ wurde diese Eigenschaft schon vorweg genommen.

[4] Lineare Koordinaten vermitteln also eine bijektive Beziehung zwischen Punkten und Zahlentupeln. Aufgrund der Linearität ist eine solche Bijektion mit der Addition und der Skalarmultiplikation verträglich. In vielen anderen Kontexten spielen auch nichtlineare (oder krummlinige) Koordinaten eine wichtige Rolle. Auch diese setzen Raumpunkte mit Zahlentupeln in eine bijektive Verbindung. Wichtige nichtlineare Koordinaten sind u.A. Polarkoordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten. Mathematische Probleme können häufig durch eine geeignete Wahl von Koordinaten vereinfacht werden, beispielsweise bei Volumenberechnungen.

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