Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 27/kontrolle

Aufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme für die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in ${}0$ den Hauptteil ${}{\frac {1}{z}}$, in ${}2$ den Hauptteil ${}{\frac {4}{(z-2)^{3}}}$ und in ${}\infty$ den Hauptteil ${}{\frac {1}{w^{2}}}=z^{2}$ besitzt.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Bestimme für die projektive Gerade ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$ eine meromorphe Funktion, die die Hauptteilverteilung realisiert, die in ${}1$ den Hauptteil ${}{\frac {3}{z(z-1)^{2}}}$ und in ${}4$ den Hauptteil ${}-{\frac {1}{z(z-4)}}$ besitzt.

Zur folgenden Aufgabe vergleiche Aufgabe 19.12.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Begründe, dass eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche genau dann das Geschlecht ${}0$ besitzt, wenn ihre Divisorenklassengruppe vom Grad ${}0$ trivial ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}P=X^{n}-c\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom. Es sei

${}f=a_{n-1}X^{n-1}+a_{n-2}X^{n-2}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\,$

ein Element in der einfachen endlichen Körpererweiterung ${}K\subseteq L=K[X]/(P)$ vom Grad ${}n$. Zeige, dass die Spur von ${}f$ gleich ${}na_{0}$ ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Potenzierung

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto w^{n}=z,$

und die zugehörige Körpererweiterung

${\mathbb {C} }(z)\longrightarrow {\mathbb {C} }(w),\,z\longmapsto w^{n}.$

Bestimme die Spur von ${}w$ und von der holomorphen Differentialform ${}dw$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung mit der Blätterzahl ${}n$ zwischen den riemannschen Flächen ${}Y$ und ${}X$. Es sei ${}\tau$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X$ mit der zurückgezogenen Differentialform ${}p^{*}\tau$ auf ${}Y$. Zeige ${}\operatorname {Spur} {\left(p^{*}\tau \right)}=n\tau$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, wie man aus Satz 27.10 zurückerhalten  (die Trivialität geht ja selbst in den Beweis ein) kann, dass auf der projektiven Geraden alle holomorphen Differentialformen trivial sind.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel für eine nichtkompakte zusammenhängende riemannsche Fläche ${}X$ zusammen mit einer meromorphen Funktion ${}f$ mit einem Hauptdivisor der Form ${}P-Q$ und einer holomorphen Differentialform ${}\omega$ derart, dass ${}\int _{\gamma }\omega$ nicht zur Periodengruppe von ${}\omega$ gehört, wobei ${}\gamma$ ein Verbindungsweg von ${}Q$ nach ${}P$ ist.