Riemannsche Fläche/Lokal konstante Funktionen/Holomorphe Differentialform/Wege/Textabschnitt

Lemma

Es sei $X$ eine riemannsche Fläche. Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$ mit der zugehörigen Kohomologieklasse  $\delta (\omega )\in H^1(X,ℂ)$  bezüglich der exakten Garbensequenz

$0\stackrel{}{⟶}ℂ\stackrel{}{⟶}{𝒪}_X\stackrel{d}{⟶}{\Omega }_X\stackrel{}{⟶}0$

(siehe Fakt).

Dann ist für jeden geschlossenen Weg $\gamma :[0,1]\to X$

${\int }_{\gamma }\omega ={\int }_{\gamma }\delta (\omega ).$

Beweis

Es sei  $X=\bigcup _{i\in I}{U}_i$  eine offene Überdeckung mit Kreisscheiben. Auf $U_i$ besitzt $\omega$ eine holomorphe Stammform, also eine holomorphe Funktion $h_i$ mit  $d{h}_i=\omega$  auf $U_i$. Die zugehörige Kohomologieklasse in $H^1(X,ℂ)$ wird durch den Čech-Kozykel  $f_{ij}=h_j-h_i$  auf  $U_{ij}=U_i\cap U_j$  beschrieben. Es sei $V_1,V_2,\dots ,V_{n-1},V_n=V_1$ eine topologische Kette um $\gamma$ und es seien  $P_k\in V_k\cap V_{k+1}\cap \gamma ([0,1])$  für  $k=1,\dots ,n-1$.  Wir setzen ferner  $P_0=\gamma (0)=\gamma (1)=P_n$.  Es sei ${\gamma }_k$ der Teilweg, der von $P_{k-1}$ nach $P_k$ führt und somit in $U_{\alpha (k)}$ verläuft. Dann ist insgesamt

$\begin{array}{cc}{\int }_{\gamma }\omega & =\sum _{k=1}^n{\int }_{{\gamma }_k}\omega \\ & =\sum _{k=1}^n{\int }_{{\gamma }_k}d{h}_{\alpha (k)}\\ & =\sum _{k=1}^n(h_{\alpha (k)}(P_k)-h_{\alpha (k)}(P_{k-1}))\\ & =-h_{\alpha (1)}(P_0)+\sum _{k=1}^{n-1}(h_{\alpha (k)}(P_k)-h_{\alpha (k+1)}(P_k))+h_{\alpha (n)}(P_n)\\ & =\sum _{k=1}^{n-1}(h_{\alpha (k)}(P_k)-h_{\alpha (k+1)}(P_k))\\ & =\sum _{k=1}^{n-1}{f}_{\alpha (k+1)\alpha (k)}(P_k)\\ & ={\int }_{\gamma }\delta (c).\end{array}$

$◻$

Die Wegintegrale ${\int }_{\gamma }\omega$ hängen nur von der Homotopieklasse des Weges ab. Dies folgt aus Fakt und für geschlossene Wege auch aus Fakt in Verbindung mit Fakt  (6).

Korollar

Es sei $X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$.

Dann ist $\omega$ genau dann exakt, wenn für alle geschlossenen Wege $\gamma$ in $X$ die Gleichheit

${\int }_{\gamma }\omega =0$

gilt.

Beweis

Es sei  $c=\delta (\omega )\in H^1(X,ℂ)$  bezüglich der kurzen exakten Garbensequenz

$0\stackrel{}{⟶}ℂ\stackrel{}{⟶}{𝒪}_X\stackrel{d}{⟶}{\Omega }_X\stackrel{}{⟶}0$

(siehe Fakt). Die Exaktheit von $\omega$ bedeutet, dass es eine holomorphe Funktion $h$ auf $X$ mit  $\omega =dh$  gibt. Dies ist aufgrund der langen Kohomologiesequenz äquivalent zu

$\delta (\omega )=0.$

Wegen Fakt folgt daher die Aussage aus Fakt.

$◻$

Korollar

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf $X$.

Dann ist $\omega$ genau dann trivial, wenn für alle geschlossenen Wege $\gamma$ in $X$ die Gleichheit

${\int }_{\gamma }\omega =0$

gilt.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, da auf einer kompakten zusammenhängenden riemannschen Fläche nur die triviale holomorphe Differentialform exakt ist, da als Stammformen nur die konstanten Funktionen in Frage kommen.

$◻$

Korollar

Es sei $X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es einen natürlichen injektiven Gruppenhomomorphismus

$H^0(X,{\Omega }_X)⟶\mathrm{Hom}({\pi }_1(X),𝕂),\omega ⟼(\gamma \mapsto {\int }_{\gamma }\omega ),$

von den globalen holomorphen Differentialformen in den Homorphismenraum von der Fundamentalgruppe ${\pi }_1(X)$ nach $𝕂$.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt unter Verwendung der Injektivität von $\delta :H^0(X,{\Omega }_X)\to H^1(X,ℂ)$.

$◻$

Das Bild der zu $\omega$ gehörenden Periodenabbildung $\gamma \mapsto {\int }_{\gamma }\omega$ nennen wir die Periodengruppe zu $\omega$, also

$\mathrm{Per}(\omega )=\{{\int }_{\gamma }\omega \mid \gamma \in {\pi }_1(X)\}.$

Es handelt sich um eine Untergruppe von $ℂ$. Es sei erwähnt, dass die Periodengruppe im Allgemeinen kein Gitter sein muss.