Kurs:Singularitätentheorie (Osnabrück 2019)/Vorlesung 30

Einfache Singularitäten in höherer Dimension

Wir möchten die Klassifikation der einfachen Singularitäten vom Kurvenfall auf höhere Dimensionen verallgemeinern.

Lemma

Es sei $f$ ein homogenes Polynom vom Grad $3$ in zumindest $3$ Variablen, das eine isolierte Singularität definiere.

Dann liegt keine einfache Singularität vor.

Lemma

Es sei $f:U\to ℂ$,  $0\in U\subseteq {ℂ}^n$  offen, eine holomorphe Funktion mit einer einfachen isolierten Singularität im Nullpunkt.

Dann ist der Rang der Hesse-Matrix zu $f$ zumindest $n-2$.

Beweis

Es sei $k$ der Rang der Hesse-Matrix von $f$ und  $k\le n-3$  angenommen. Dann ist $f$ nach Satz 28.6 rechtsäquivalent zu $x_1^2+\cdots +x_k^2+h(x_{k+1},\dots ,x_n)$ mit  $h\in {𝔪}^3$  und wobei $h$ von zumindest drei Variablen abhängt und das ebenfalls eine isolierte Singularität besitzt. Dieses ist nach Lemma 30.1 nicht einfach. Aus Satz 28.7 folgt, dass dann auch $x_1^2+\cdots +x_k^2+h(x_{k+1},\dots ,x_n)$ nicht einfach ist.

$◻$

Die Klassifikation der einfachen Singularitäten in höheren Dimensionen ergibt sich aus dem ebenen Fall, also aus Satz 29.2, indem man die dortigen Funktionen um eine Summe von Quadraten ergänzt.

Satz

Es sei $f:U\to ℂ$ mit  $0\in U\subseteq {ℂ}^n$  offen,  $n\ge 2$,  eine holomorphe Funktion mit einer einfachen Singularität im Nullpunkt.

Dann ist $f$ rechtsäquivalent zu einer der folgenden Funktionen.

1. $x^{k+1}+y^2+z_1^2+\cdots +z_{n-2}^2\text{ mit }k\ge 1,\text{ Typ }{A}_k.$

2. $x^{2}y+y^{k-1}+z_1^2+\cdots +z_{n-2}^2\text{ mit }k\ge 4,\text{ Typ }{D}_k.$

3. $x^3+y^4+z_1^2+\cdots +z_{n-2}^2,\text{ Typ }{E}_6.$

4. $x^3+x{y}^3+z_1^2+\cdots +z_{n-2}^2,\text{ Typ }{E}_7.$

5. $x^3+y^5+z_1^2+\cdots +z_{n-2}^2,\text{ Typ }{E}_8.$

Beweis

Da es sich um eine einfache isolierte Singularität im Nullpunkt handeln soll, verschwinden alle partiellen Ableitungen von $f$ im Nullpunkt. Der Rang $k$ der Hesse-Matrix ist nach Lemma 30.2 zumindest $n-2$. Nach Satz 28.6 ist $f$ rechtsäquivalent zu einer Funktion der Form

$g=x_1^2+\cdots +x_k^2+h$

mit  $h\in {𝔪}^3$  und wobei $h$ nur von den Variablen $x_{n-1},x_n$ abhängt. Wenn der Rang gleich $n-1$ oder $n$ ist, hängt $h$ sogar von weniger Variablen ab. In jedem Fall kann man $h$ in den beiden letzten Variablen und mit  $h\in {𝔪}^2$  schreiben. Jede Entfaltung $h_t$ von $h$ ergibt unmittelbar eine Entfaltung von $g$. Die dabei entstehenden (deformierten) Funktionen haben die Form  $\tilde{E}(-,t)=x_1^2+\cdots +x_k^2+h_t(x_{n-1},x_n)$.  Wegen der Einfachheit von $g$ treten dabei nur endlich viele Singularitätsklassen (im Sinne der Rechtsäquivalenz) auf, sagen wir $x_1^2+\cdots +x_k^2+h_i(x_{n-1},x_n)$, $i\in I$, mit einer endlichen Indexmenge $I$. Für jedes $h_t(x_{n-1},x_n)$ gibt es somit ein  $i\in I$  derart, dass $x_1^2+\cdots +x_k^2+h_t(x_{n-1},x_n)$ und $x_1^2+\cdots +x_k^2+h_i(x_{n-1},x_n)$ zueinander rechtsäquivalent sind. Nach Satz 28.7 sind dann $h_t(x_{n-1},x_n)$ und $h_i(x_{n-1},x_n)$ zueinander rechtsäquivalent. Dies bedeutet, dass $h(x_{n-1},x_n)$ ein einfacher Funktionskeim in zwei Variablen ist. Deren Rechtsäquivalenzklassen wurden in Satz 29.2 klassifiziert.

Wir müssen noch zeigen, dass die angegebenen Möglichkeiten wirklich einfach sind.

$◻$

Für  $n\ge 3$  handelt es sich dabei um irreduzible normale Singularitäten (bei $n=2$ sind $A_k$ für $k$ ungerade, $D_k$ und $E_7$ reduzibel).

Satz

Es sei  $0\in V(f)\subseteq {ℂ}^3$  eine zweidimensionale isolierte Hyperflächensingularität.

Dann ist die Singularität genau dann einfach, wenn es sich um eine spezielle Quotientensingularität handelt.

Beweis

Dies folgt aus

Satz 30.3 einerseits und Satz 7.14

in Zusammenhang mit den Berechnungen aus der achten Vorlesung andererseits.

$◻$

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