Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021)/Arbeitsblatt 2/kontrolle
- Übungsaufgaben
Welche Teilerbeziehung besteht zwischen und einer beliebigen ganzen Zahl und welche Teilerbeziehung besteht zwischen und einer beliebigen ganzen Zahl ?
Skizziere ein Teilerdiagramm (also ein Diagramm, in dem die Teilerbeziehung durch Pfeile ausgedrückt wird) für die Zahlen sowie all ihrer positiven Teiler.
Gerade und ungerade Zahlen kann man unterschiedlich definieren. Was wäre spontan Ihre Definition?
Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann ungerade ist, wenn man sie in der Form mit einer natürlichen Zahl schreiben kann.
Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann gerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich oder ist.
Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann ungerade ist, wenn ihre letzte Ziffer im Dezimalsystem gleich oder ist.
- Formuliere Rechenregeln für die Addition und die Multiplikation von geraden und ungeraden natürlichen Zahlen.
- Beweise die Rechenregeln mit den Endzifferbeschreibungen (siehe Aufgabe 2.4 und Aufgabe 2.5).
- Beweise die Rechenregeln mit den Gleichungsbeschreibungen (Definition und Aufgabe 2.3).
Es sei eine natürliche Zahl. Zeige mittels einer Fallunterscheidung, dass stets gerade ist.
Für die folgende Aufgabe ist
Aufgabe 1.24
hilfreich.
Es sei eine natürliche Zahl und es sei
die Darstellung von im Dezimalsystem. Zeige, dass von genau dann geteilt wird, wenn die Quersumme von geteilt wird.
Eine Verallgemeinerung dieses Quersummentests wird in der nächsten Aufgabe besprochen.
Es seien und natürliche Zahlen mit . Es sei
die Darstellung von zur Basis (also mit ). Es sei ein Teiler von . Dann wird von genau dann geteilt, wenn die Quersumme von geteilt wird.
Betrachte im er System mit den Ziffern die Zahl
Ist diese Zahl durch teilbar?
Bestimme die kleinste natürliche Zahl, deren letzte Ziffer eine ist, die kein Vielfaches der ist und die keine Primzahl ist.
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Finde die Primfaktorzerlegung der Zahlen
(Vergleiche hierzu auch Aufgabe 3.22.)
Bestimme die Primfaktorzerlegung von .
Finde die kleinste Zahl der Form , die keine Primzahl ist, wobei die ersten Primzahlen sind.
Es sei
.
a) Finde aufeinander folgende natürliche Zahlen (also ), die alle nicht prim sind.
b) Finde unendlich viele solcher primfreien -„Intervalle“.
Finde eine Darstellung der (im Sinne des Lemmas von Bezout) für die folgenden Zahlenpaare: und ; und ; und .
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
Es seien und teilerfremde natürliche Zahlen. Es stehen beliebig viele Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, deren Fassungsvermögen bzw. ist. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
Es stehen zwei Eimer ohne Markierungen zur Verfügung, ferner eine Wasserquelle. Der eine Eimer hat ein Fassungsvermögen von und der andere ein Fassungsvermögen von Litern, wobei und teilerfremd seien. Zeige, dass man allein durch Auffüllungen, Ausleerungen und Umschüttungen erreichen kann, dass in einem Eimer genau ein Liter Wasser enthalten ist.
Es sei eine Primzahl. Zeige durch Induktion nach , dass wenn ein Produkt von Zahlen teilt, dass dann schon eine der Zahlen teilt.
Es seien und natürliche Zahlen, deren Produkt von einer natürlichen Zahl geteilt werde. Die Zahlen und seien teilerfremd. Zeige, dass von geteilt wird.
Es sei eine natürliche Zahl mit der folgenden Eigenschaft: Sobald ein Produkt teilt, teilt bereits einen Faktor. Zeige, dass eine Primzahl ist.
Es seien und teilerfremde Zahlen. Zeige, dass jede Lösung der Gleichung
die Gestalt mit einer eindeutig bestimmten Zahl besitzt.
Es seien und teilerfremde ganze Zahlen. Zeige, dass es eine Potenz mit gibt, deren Rest bei Division durch gleich ist.
Tipp: Verwende Aufgabe 1.25 und betrachte den Rest von bei Division durch . Schließe dann mit Aufgabe 2.24.
Die folgende Aufgabe zeigt, dass die eindeutige Primfaktorzerlegung keineswegs selbstverständlich ist.
Es sei diejenige Teilmenge, die aus allen natürlichen Zahlen besteht, die bei Division durch den Rest besitzen, also . Zeige, dass man innerhalb von auf zwei verschiedene Arten in Faktoren zerlegen kann, die in nicht weiter zerlegbar sind.
Alle Flöhe leben auf einem unendlichen Zentimeter-Band. Ein Flohmännchen springt bei jedem Sprung cm und die deutlich kräftigeren Flohweibchen springen mit jedem Sprung cm. Die Flohmännchen Florian, Flöhchen und Carlo sitzen in den Positionen und . Die Flohweibchen Flora und Florentina sitzen in Position bzw. . Welche Flöhe können sich treffen?
Wir betrachten eine digitale Uhr, die Stunden, Minuten und Sekunden anzeigt. Zur Karnevalszeit läuft sie aber nicht in Sekundenschritten, sondern addiert, ausgehend von der Nullstellung, in jedem Zählschritt immer Stunden, Minuten und Sekunden dazu. Wird bei dieser Zählweise jede mögliche digitale Anzeige erreicht? Nach wie vielen Schritten kehrt zum ersten Mal die Nullstellung zurück?
Zeige, dass es außer kein weiteres Zahlentripel der Form gibt, in dem alle drei Zahlen Primzahlen sind.
Die nächste Aufgabe bezieht sich auf
Bemerkung 2.11.
Zeige, dass es eine gerade Zahl , , mit der Eigenschaft gibt, dass es unendlich viele Primzahlen derart gibt, dass auch eine Primzahl ist.
Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.
Kommentar:
Die Aufgabe ist provokativ formuliert. Es geht jetzt darum sich genau klar zu machen wie der Beweis durch Widerspruch funktioniert.
Zur Erinnerung: Wir nehmen an, dass eine Aussage nicht gilt. Wir argumentieren mit unter Zuhilfenahme beliebiger bekannter mathematischer Gesetzmäßigkeiten. Wenn wir dadurch einen Widerspruch herleiten können, dann muss gelten.
Es gibt zwei Arten wie man sich vorstellen könnte damit Alles herleiten zu können.
Nehmen wir zunächst das Gegenteil einer beliebigen Aussage an. Wenn wahr ist, dann spricht das nicht gegen das Beweisprinzip wenn wir einen Widerspruch zu finden. Wenn aber falsch ist, dann nehmen wir mit eine wahre Aussage an. Offensichtlich können wir so dann keinen Widerspruch erzeugen.
Nehmen wir nun eine Aussage an die an sich widersprüchlich ist weil sie aus zwei Teilaussagen besteht die sich widersprechen. Dann haben wir natürlich direkt einen Widerspruch gefunden - nach dem Beweisprinzip muss also das Gegenteil gelten. Das heißt logisch aber nicht, dass das Gegenteil beider Teilaussagen wahr sein muss, sondern dass nicht beide gleichzeitig wahr sein können. Das heißt also, dass das Gegenteil einer der beiden Aussagen wahr sein muss - mit diesem Beweisversuch konnten wir aber nicht feststellen auf welche davon das zutrifft.
Wir sehen, dass wir keine falschen Aussagen durch den Beweis durch Widerspruch zeigen können.
Franziska möchte mit ihrem Freund Heinz Schluss machen. Sie erwägt die folgenden drei Begründungen.
- „Du hast dich schon am ersten Tag voll daneben benommen. Seitdem ist es von jedem Tag zum nächsten Tag nur noch schlimmer geworden. Du wirst Dich also immer völlig daneben benehmen“.
- „Wenn ich mit Dir zusammenbleiben würde, so würde ich irgendwann als eine traurige, gelangweilte, vom Leben enttäuschte Person enden, das möchte ich aber auf gar keinen Fall“.
- „Also, wenn Du mich nicht liebst, will ich Dich sowieso nicht. Wenn Du mich aber liebst, so komme ich zu dem Schluss, dass Du dein Verhalten mit Deinen Gefühlen nicht zur Deckung bringen kannst. Dann bist Du also unreif und dann will ich Dich auch nicht“.
Welche mathematischen Beweisprinzipien spiegeln sich in den drei Begründungen wieder?
- Löse das folgende Minisudoku
- Begründe, dass das Minisudoku aus (1) nur eine Lösung besitzt.
- Welche mathematischen Beweisverfahren finden sich als typische Argumentationsschemata beim Lösen eines Sudokus wieder?
In der Schule wird Potenzrechnung durchgenommen und es geht um die Frage, ob
ist. Als Gründe, dass dies gelten müsste, werden angeführt:
- Es gilt ja auch und , warum sollte das jetzt plötzlich nicht mehr gelten?
- Das wäre gut, wenn das gelten würde, dann könnte man die kleinere Zahl immer oben hinschreiben und es wäre einfacher auszurechnen.
- Wenn man beispielsweise
und
nimmt, so ist
warum sollte das für andere Zahlen nicht auch gelten?
| << | Kurs:Vorkurs Mathematik (Osnabrück 2021) | >> |
|---|