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Lineare Algebra/K/Homomorphismenraum/Einführung/Textabschnitt

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Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Dann nennt man

den Homomorphismenraum. Er wird versehen mit der Addition, die durch

definiert wird, und der Skalarmultiplikation, die durch

definiert wird.

Nach Aufgabe handelt es sich in der Tat um einen -Vektorraum.


Es sei ein -Vektorraum über dem Körper . Dann ist die Abbildung

ein Isomorphismus von Vektorräumen, siehe Aufgabe.




Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Eine lineare Abbildung

    mit einem weiteren Vektorraum induziert eine lineare Abbildung

  2. Eine lineare Abbildung

    mit einem weiteren Vektorraum induziert eine lineare Abbildung

Beweis

Siehe Aufgabe.



Es sei ein -Vektorraum mit einer direkten Summenzerlegung

Es sei ein weiterer -Vektorraum und es seien

und

lineare Abbildungen.

Dann ist durch

wobei die direkte Zerlegung ist, eine lineare Abbildung

gegeben.

Die Abbildung ist wohldefiniert, da die Darstellung mit und eindeutig ist. Die Linearität ergibt sich aus



Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Es seien

und

direkte Summenzerlegungen und es seien

die kanonischen Projektionen.

Dann ist die Abbildung

ein Isomorphismus.

Wenn man die als Untervektorräume von auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung

vor.

Dass die angegebene Abbildung linear ist, folgt direkt aus Fakt. Zum Nachweis der Injektivität sei mit gegeben. Dann gibt es ein mit

Sei mit . Dann ist auch für ein . Dann ist auch für ein und damit ist

Zum Nachweis der Surjektivität sei eine Familie von Homomorphismen , gegeben, die wir als Abbildungen nach auffassen. Dann sind die

lineare Abbildungen von nach . Dies ergibt nach Fakt eine lineare Abbildung von nach , die auf die vorgegebenen Abbildungen einschränkt.



Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es sei eine Basis von und eine Basis von .

Dann ist die Zuordnung

ein Isomorphismus von -Vektorräumen.

Die Bijektivität wurde in Fakt gezeigt. Die Additivität folgt beispielsweise aus

wobei der Index die -te Komponente bezüglich der Basis bezeichnet.


Man kann auch die zu den Basen gehörende direkte Summenzerlegung in die eindimensionalen Untervektorräume bzw. betrachten und Fakt anwenden.



Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume mit den Dimensionen bzw. .

Dann ist

Dies folgt unmittelbar aus Fakt.