Nach
Aufgabe
handelt es sich in der Tat um einen -Vektorraum.
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über . Dann gelten folgende Aussagen.
- Eine
lineare Abbildung
-
mit einem weiteren Vektorraum induziert eine lineare Abbildung
-
- Eine
lineare Abbildung
-
mit einem weiteren Vektorraum induziert eine lineare Abbildung
-
Beweis
Siehe
Aufgabe.
Es sei ein
Körper
und es seien
und
Vektorräume
über . Es seien
-
und
-
direkte Summenzerlegungen
und es seien
-
die
kanonischen Projektionen.
Dann ist die Abbildung
-
ein
Isomorphismus.
Wenn man die als Untervektorräume von auffasst, so liegt eine direkte Summenzerlegung
-
vor.
Dass die angegebene Abbildung linear ist, folgt direkt aus
Fakt.
Zum Nachweis der Injektivität sei
mit
gegeben. Dann gibt es ein
mit
-
Sei
mit
.
Dann ist auch
für ein . Dann ist auch
für ein und damit ist
-
Zum Nachweis der Surjektivität sei eine Familie von Homomorphismen , gegeben, die wir als Abbildungen nach auffassen. Dann sind die
-
lineare Abbildungen von nach . Dies ergibt nach
Fakt
eine lineare Abbildung von nach , die auf die vorgegebenen Abbildungen einschränkt.
Es sei ein
Körper
und es seien
und
endlichdimensionale
-Vektorräume. Es sei
eine
Basis
von und
eine Basis von .
Dann ist die Zuordnung
-
ein
Isomorphismus
von -Vektorräumen.
Man kann auch die zu den Basen gehörende direkte Summenzerlegung in die eindimensionalen Untervektorräume
bzw.
betrachten und
Fakt
anwenden.
Dies folgt unmittelbar aus
Fakt.