Lineare Differentialgleichungssysteme/Konstante Koeffizienten/Textabschnitt

Es sei eine homogene lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten gegeben, d.h.

${}v'=Mv\,$

mit einer konstanten Matrix

$M={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}{\text{ mit }}a_{ij}\in {\mathbb {K} }.$

Wir lassen hier also auch den Fall zu, dass die Einträge komplexe Zahlen sind. Beim Auffinden der Lösungen zu einer reellen Matrix ist es nämlich hilfreich, die reellen Zahlen als komplexe Zahlen aufzufassen, um dort Umformungen durchzuführen, die im Reellen nicht möglich sind. Die Lösungen werden aber nach wie vor auf reellen Intervallen definiert sein.

Ausgeschrieben liegt also das Differentialgleichungssystem

${}{\begin{pmatrix}v'_{1}\\\vdots \\v'_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}v_{1}+\cdots +a_{1n}v_{n}\\\vdots \\a_{n1}v_{1}+\cdots +a_{nn}v_{n}\end{pmatrix}}\,$

vor. Solche Systeme lassen sich mit Hilfe der linearen Algebra auf eine Folge von inhomogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen in einer Variablen zurückführen und damit sukzessive lösen. Das folgende einfache Lemma gibt bereits einen deutlichen Hinweis dadrauf, dass lineare Eigenschaften der Matrix ${}M$ eng mit den Lösungen des Differentialgleichungssystems zusammenhängen.

Lemma

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und es sei ${}u\in {\mathbb {K} }^{n}$ ein Eigenvektor zu ${}M$ zum Eigenwert ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$.

Dann ist die Abbildung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto ce^{\lambda t}u=c{\begin{pmatrix}e^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\e^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}},$

(${}c\in {\mathbb {K} }$) eine Lösung dieses Differentialgleichungssystems.

Beweis

Dies folgt direkt aus

${}{\begin{aligned}v'(t)&={\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}'\\&={\begin{pmatrix}(ce^{\lambda t}u_{1})'\\\vdots \\(ce^{\lambda t}u_{n})'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\lambda ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\\lambda ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}\\&=\lambda ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\\&=M{\left(ce^{\lambda t}{\begin{pmatrix}u_{1}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}\right)}\\&=M{\begin{pmatrix}ce^{\lambda t}u_{1}\\\vdots \\ce^{\lambda t}u_{n}\end{pmatrix}}.\end{aligned}}$

$\Box$

Nun untersuchen wir systematisch, wie man Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten löst.

Lemma

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten, es sei ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine invertierbare Matrix und es sei

${}N=BMB^{-1}\,.$

Dann ist

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n},\,t\longmapsto v(t),$

genau dann eine Lösung von ${}v'=Mv$, wenn ${}w=Bv$ eine Lösung der Differentialgleichung ${}w'=Nw$ ist.

Beweis

Es sei vorausgesetzt, dass

${}v'=Mv\,$

ist. Dann gelten für ${}w=Bv$ mit ${}B=(b_{ij})_{ij}$ die Gleichungen

${}{\begin{aligned}w'(t)&={\begin{pmatrix}w_{1}'(t)\\\vdots \\w_{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(b_{11}v_{1}(t)+\cdots +b_{1n}v_{n}(t))'\\\vdots \\(b_{n1}v_{1}(t)+\cdots +b_{nn}v_{n}(t))'\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}b_{11}v'_{1}(t)+\cdots +b_{1n}v'_{n}(t)\\\vdots \\b_{n1}v'_{1}(t)+\cdots +b_{nn}v'_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&=B{\begin{pmatrix}v_{1}'(t)\\\vdots \\v_{n}'(t)\end{pmatrix}}\\&=BM{\begin{pmatrix}v_{1}(t)\\\vdots \\v_{n}(t)\end{pmatrix}}\\&=BMB^{-1}{\begin{pmatrix}w_{1}(t)\\\vdots \\w_{n}(t)\end{pmatrix}},\end{aligned}}$

sodass ${}w$ die Differentialgleichung

${}w'=Nw\,$

löst. Die inverse Transformation zeigt, dass zu einer Lösung von ${}w'=Nw$ die Abbildung ${}B^{-1}w$ eine Lösung für ${}v'=Mv$ ist.

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Satz

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann gibt es eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass das äquivalente Differentialgleichungssystem

$w'=Nw{\text{ mit }}N=BMB^{-1}$

obere Dreiecksgestalt besitzt, also von der Form

${}{\begin{pmatrix}w'_{1}\\w'_{2}\\\vdots \\w'_{n-1}\\w_{n}'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\0&c_{22}&\cdots &c_{2n}\\\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&c_{nn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\vdots \\w_{n-1}\\w_{n}\end{pmatrix}}\,$

(mit ${}c_{ij}\in {\mathbb {C} }$) ist.

Dieses System lässt sich sukzessive von unten nach oben mit dem Lösungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichungen in einer Variablen lösen. Wenn zusätzlich Anfangsbedingungen ${}v_{i}(t_{0})=a_{i}$ für ${}i=1,\ldots ,n$ gegeben sind, so ist die Lösung eindeutig.

Beweis

Aufgrund von Fakt ist die Matrix ${}M$ trigonalisierbar, d.h. es gibt eine invertierbare Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {C} })$ derart, dass

${}N=BMB^{-1}\,$

obere Dreiecksgestalt besitzt. Das lineare Differentialgleichungssystem ${}w'=Nw$ besitzt also die angegebene Gestalt, und es ist wegen Fakt äquivalent zum ursprünglichen System. Die letzte Zeile des neuen Systems, also

${}w_{n}'=c_{nn}w_{n}\,,$

ist eine lineare Differentialgleichung in einer Variablen, ihre Lösungen sind ${}w_{n}(t)=ae^{c_{nn}t}$. Die zweitletzte Zeile ist

${}w_{n-1}'=c_{n-1\,n-1}w_{n-1}+c_{n-1\,n}w_{n}\,,$

worin man die Lösung für ${}w_{n}$ einsetzen kann. Dann erhält man eine inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung in der einen Variablen ${}w_{n-1}$, die man mit dem angegebenen Lösungsverfahren lösen kann. Für die drittletzte Zeile sind dann ${}w_{n-1}$ und ${}w_{n}$ schon bekannt und dies führt wieder zu einer inhomogenen linearen Differentialgleichung für ${}w_{n-2}$. So erhält man sukzessive eine Gesamtlösung ${}(w_{1},\ldots ,w_{n})$. Eine Anfangsbedingung für ${}v'=Mv$ übersetzt sich direkt in eine Anfangsbedingung für ${}w'=Nw$. In dem soeben beschriebenen Lösungsverfahren gibt es dann jeweils eine Anfangsbedingung für die inhomogenen Differentialgleichungen, sodass die Lösungen jeweils eindeutig sind.

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Satz

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}(\mathbb {R} )$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})=u\in \mathbb {R} ^{n}$, ${}t_{0}\in \mathbb {R}$.

Dann gibt es genau eine auf ${}\mathbb {R}$ definierte Lösung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

für dieses Anfangswertproblem.

Beweis

Aufgrund von Fakt gibt es eine eindeutige komplexwertige Lösung

$v\colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {C} }^{n}$

für dieses Differentialgleichungssystem. Da eine reellwertige Lösung insbesondere eine komplexwertige Lösung ist, liegt Eindeutigkeit vor. Der Realteil der komplexen Lösung, also

$\operatorname {Re} \,{\left(v\right)}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n},\,t\longmapsto \operatorname {Re} \,{\left(v(t)\right)},$

ist ebenfalls eine Lösung dieses Systems. Wegen der Eindeutigkeit muss ${}v=\operatorname {Re} \,{\left(v\right)}$ sein.

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Korollar

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten.

Dann ist die Menge der Lösungen

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

ein ${}n$-dimensionaler ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum.

Beweis

Dass der Lösungsraum ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum ist, kann man direkt nachrechnen. Aufgrund von Fakt bzw. Fakt gibt es zu jedem Vektor ${}w\in {\mathbb {K} }^{n}$ genau eine Lösung

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow {\mathbb {K} }^{n}$

mit

${}\varphi (0)=w\,.$

Die Zuordnung, die eine Lösung ${}\varphi$ der Differentialgleichung auf den Ortspunkt ${}\varphi (0)$ abbildet, ist linear, sodass eine lineare Isomorphie zwischen dem Lösungsraum und ${}{\mathbb {K} }^{n}$ vorliegt.

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Definition

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ ein homogenes lineares gewöhnliches Differentialgleichungssystem mit konstanten Koeffizienten. Dann heißt eine Basis des Lösungsraumes ein Fundamentalsystem von Lösungen dieses Systems.

Korollar

Es sei

${}v'=Mv\,$

mit ${}M\in \operatorname {Mat} _{n\times n}({\mathbb {K} })$ eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die Matrix ${}M$ sei diagonalisierbar mit den linear unabhängigen Eigenvektoren ${}u_{1},\ldots ,u_{n}$.

Dann ist der Lösungsraum der Differentialgleichung gleich

${\left\{c_{1}e^{\lambda _{1}t}\cdot u_{1}+\cdots +c_{n}e^{\lambda _{n}t}\cdot u_{n}\mid c_{i}\in {\mathbb {K} }\right\}},$

wobei ${}\lambda _{i}$ der Eigenwert zu ${}u_{i}$ ist.

Beweis

Dies folgt direkt aus Fakt und aus Fakt.

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