Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Homogen/Textabschnitt

Definition

Eine Differentialgleichung der Form

${}y'=g(t)y\,$

mit einer Funktion (${}I$ reelles Intervall)

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.

Wir sprechen kurz auch von linearen Differentialgleichungen. Linear bedeutet hierbei, dass im (auf $I\times \mathbb {R}$ definierten) Vektorfeld ${}f(t,y)=g(t)y$ der Ort ${}y$ linear eingeht, d.h. zu jedem fixierten Zeitpunkt ${}t_{0}$ ist ${}f(t_{0},y)$ eine lineare Funktion in ${}y$.

Die folgende Aussage zeigt, dass solche Differentialgleichungen durch Integration gelöst werden können. Die Nullfunktion ist natürlich immer eine Lösung, interessant sind daher die Lösungen, die noch zusätzliche Eigenschaften (typischerweise eine Anfangsbedingung) erfüllen.

Satz

Es sei

${}y'=g(t)y\,$

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion

$g\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto g(t),$

die auf einem Intervall ${}I\subseteq \mathbb {R}$ definiert sei. Es sei ${}G$ eine Stammfunktion zu ${}g$ auf ${}I$.

Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich

$y(t)=c\cdot \exp(G(t)){\text{ mit }}c\in \mathbb {R} .$

Das Anfangswertproblem

$y'=g(t)y{\text{ und }}y(t_{0})=y_{0}$

(mit ${}t_{0}\in I,\,y_{0}\in \mathbb {R}$) besitzt eine eindeutige Lösung.

Beweis

Zunächst gibt es eine Stammfunktion ${}G$ von ${}g$ aufgrund von Fakt, sodass die angegebenen Funktionen existieren.
Durch Ableiten bestätigt man direkt, dass diese Funktionen wirklich Lösungen sind.
Es sei ${}y$ eine beliebige Lösungsfunktion. Wir betrachten den Quotienten

${}{\begin{aligned}{\left({\frac {y(t)}{\exp(G(t))}}\right)}'&={\frac {y'(t)\exp \left(G(t)\right)-y(t)\cdot {\left(\exp(G(t))\cdot g(t)\right)}}{\exp ^{2}(G(t))}}\\&={\frac {y(t)g(t)\exp \left(G(t)\right)-y(t)\cdot {\left(\exp(G(t))\cdot g(t)\right)}}{\exp ^{2}(G(t))}}\\&=0,\end{aligned}}$

sodass aufgrund von Fakt der Quotient ${}{\frac {y(t)}{\exp(G(t))}}$ konstant sein muss, woraus die Behauptung folgt.
Die Bedingung ${}y(t_{0})=y_{0}$ legt den Skalar ${}c={\frac {y_{0}}{\exp(G(t_{0}))}}$ eindeutig fest.

$\Box$

Beispiel

Die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=0\,$

besitzt genau die konstanten Lösungen

$y(t)=c{\text{ mit }}c\in \mathbb {R} .$

Dies folgt direkt aus Fakt, aber auch aus Fakt.

Beispiel

Die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=y\,$

besitzt genau die Lösungen

$y(t)=ce^{t}{\text{ mit }}c\in \mathbb {R} .$

Beispiel

Sei ${}c\in \mathbb {R}$. Die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'=cy\,$

besitzt nach Fakt die Lösungen

$y(t)=ae^{ct}{\text{ mit }}a\in \mathbb {R} .$

In den bisherigen Beispielen war die Funktion ${}g(t)$ konstant, und es war besonders einfach, die Lösungen anzugeben. Man spricht von einer homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Diese sind insbesondere zeitunabhängig. Die folgenden Beispiele besitzen keine konstanten Koeffizienten, sondern variable Koeffizienten. Diese Differentialgleichungen sind sowohl orts- als auch zeitabhängig.

Beispiel

Wir betrachten die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung (${}t>0$)

${}y'={\frac {y}{t}}\,.$

Eine Stammfunktion zu ${}g(t)={\frac {1}{t}}$ ist der natürliche Logarithmus. Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind daher nach Fakt gleich

${}c\cdot \exp(\ln t)=ct\,$

mit ${}c\in \mathbb {R}$.

Beispiel

Wir betrachten die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung (${}t>1$)

${}y'={\frac {y}{t^{2}-1}}\,.$

Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine Stammfunktion zu

${}g(t)={\frac {1}{t^{2}-1}}={\frac {1}{(t-1)(t+1)}}={\frac {1/2}{t-1}}-{\frac {1/2}{t+1}}\,.$

Aus der Partialbruchzerlegung gelangt man zur Stammfunktion

${}G(t)={\frac {1}{2}}\ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\ln(t+1)\,.$

Daher sind die Lösungen nach Fakt gleich

${}{\begin{aligned}c\cdot \exp {\left({\frac {1}{2}}\ln(t-1)-{\frac {1}{2}}\ln(t+1)\right)}&=c{\frac {\exp \left({\frac {1}{2}}\ln(t-1)\right)}{\exp \left({\frac {1}{2}}\ln(t+1)\right)}}\\&=c{\frac {\sqrt {\exp \left(\ln(t-1)\right)}}{\sqrt {\exp \left(\ln(t+1)\right)}}}\\&=c\cdot {\frac {\sqrt {t-1}}{\sqrt {t+1}}}.\end{aligned}}$

Beispiel

Wir betrachten die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

${}y'={\frac {y}{t^{2}+1}}\,.$

Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine Stammfunktion zu

${}g(t)={\frac {1}{t^{2}+1}}\,,$

eine solche ist (nach Fakt  (3)) durch

${}G(t)=\arctan t\,$

gegeben. Daher sind die Lösungen gleich

$c\cdot \exp(\arctan t).$