Lineare gewöhnliche Differentialgleichungen/1/Homogen/Textabschnitt

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Definition  

Eine Differentialgleichung der Form

mit einer Funktion ( reelles Intervall)

heißt lineare Differentialgleichung bzw. genauer gewöhnliche homogene lineare Differentialgleichung.

Linear bedeutet hierbei, dass im (auf definierten) Vektorfeld der Ort linear eingeht, d.h. zu jedem fixierten Zeitpunkt ist eine lineare Funktion in .

Die folgende Aussage zeigt, dass solche Differentialgleichungen durch Integration gelöst werden können. Die Nullfunktion ist natürlich immer eine Lösung, interessant sind daher die Lösungen, die noch zusätzliche Eigenschaften (typischerweise eine Anfangsbedingung) erfüllen.



Satz  

Es sei

eine homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung mit einer stetigen Funktion

die auf einem Intervall definiert sei. Es sei eine Stammfunktion zu auf .

Dann sind die Lösungen der Differentialgleichung gleich

Das Anfangswertproblem

(mit ) besitzt eine eindeutige Lösung.

Beweis  

Zunächst gibt es eine Stammfunktion von aufgrund von Fakt, so dass die angegebenen Funktionen existieren.
Durch Ableiten bestätigt man direkt, dass diese Funktionen wirklich Lösungen sind.
Es sei eine beliebige Lösungsfunktion. Wir betrachten den Quotienten

so dass aufgrund von Fakt der Quotient konstant sein muss, woraus die Behauptung folgt.
Die Bedingung legt den Skalar eindeutig fest.



Beispiel  

Die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

besitzt genau die konstanten Lösungen

Dies folgt direkt aus Fakt, aber auch aus Fakt.



Beispiel  

Die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

besitzt genau die Lösungen



Beispiel  

Sei . Die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

besitzt nach Fakt die Lösungen


In den bisherigen Beispielen war die Funktion konstant, und es war besonders einfach, die Lösungen anzugeben. Man spricht von einer homogenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten. Die folgenden Beispiele besitzen keine konstanten Koeffizienten, sondern variable Koeffizienten. Diese Differentialgleichungen sind sowohl orts- als auch zeitabhängig.


Beispiel  

Wir betrachten die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

Eine Stammfunktion zu ist der natürliche Logarithmus. Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind daher nach Fakt gleich

mit .



Beispiel  

Wir betrachten die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung ()

Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine Stammfunktion zu

Aus der Partialbruchzerlegung gelangt man zur Stammfunktion

Daher sind die Lösungen gleich



Beispiel  

Wir betrachten die homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung

Um die Lösungen zu bestimmen brauchen wir eine Stammfunktion zu

eine solche ist durch

gegeben. Daher sind die Lösungen gleich